3.7 Кінетична енергія матеріальної точки (тіла) при поступальному русі

Визначимо, яку роботу треба виконати, щоб матеріальна точка масою збільшила швидкість від до . Розглянемо загальний випадок – рух по д овільній кривій під дією змінної сили (рис.3.7.1). Тому виберемо таке мале переміщення , щоб силу вважати сталою і елементарна робота на такому елементарному переміщенні буде дорівнювати

, (3.7.1)

де ом сили і переміщенням кут

або враховуючи що

, (3.7.2)

то

. (3.7.3)

Тобто, роботу виконує тангенціальна (дотична) складова сили, яка співпадає з швидкістю і змінює швидкість за величиною. Нормальна складова сили роботи не виконує, вона змінює лише швидкість за напрямом, надаючи нормального (доцентрового) прискорення. Тому визначимо роботу тангенціальної складової, яка, згідно другого закону Ньютона, надає тілу прискорення:

. (3.7.4)

Тоді елементарна робота такої сили дорівнює

. (3.7.5)

Так, як , то

. (3.7.6)

А вся робота визначиться як інтегральна сума

. (3.7.7)

Отже, для збільшення швидкості тіла за модулем треба виконати роботу, яка визначається функцією виду

(3.7.8)

і ця функція є кінетична енергія матеріальної точки або тіла при поступальному русі, яку було наведено без доведення у попередньому пункті 3.6.

3.8 Робота сил тяжіння. Потенціальна енергія тіла в полі тяжіння

З роботою сил тяжіння ми знайомі з самого раннього дитинства, коли вчинились ходити: часте падіння – це результат тяжіння, а набиті синці – це виконана робота силами тяжіння. Чомусь існує хибна думка, що сили тяжіння виконують роботу лише тоді, коли тіло падає вниз на землю. Тіло, кинуте вгору далеко не полетить (якщо це, звичайно, не друга космічна швидкість). У даному випадку сили тяжіння теж виконують роботи і їх напрям протилежний переміщенню. Тому з’ясуємо, від яких величин залежить робота переміщення одного тіла в полі тяжіння іншого тіла. Спочатку розглянемо переміщення матеріальної точки масою m в гравітаційному полі точки масою M так, що відстань між точками змінюється від до (рис.3.8.1). При такій зміні відстані змінюється сила гравітаційної взаємодії, тобто, у даному випадку маємо роботу змінної сили. Тому на траєкторії руху точки виберемо таке мале переміщення , щоб силу вважати сталою. Тоді елементарна робота такої сили на шляху дорівнює

. (3.8.1)

Щоб ще раз підкреслити, що сили тяжіння виконують роботу не тільки при зближенні тіл, але і при збільшенні відстані між ними, на рис.3.5.1 показано саме випадок збільшення відстані. При такому збільшення відстані кут між напрямом сили і переміщенням тупий і робота сили тяжіння на шляху буде від’ємною. Тому, щоб «побачити» цей знак «мінус», перейдемо до гострого кута між переміщення і силою за рахунок зміни напряму цієї сили на протилежний за напрямом, як вказано на рис. 3.8.1. Тоді елементарна робота сили тяжіння на шляху дорівнює

. (3.8.2)

При нескінченно малому переміщенні відстань між даними двома матеріальними точками змінюється на і, як видно з рисунку рис.3.5.1,

. (3.8.3)

Так як сила гравітаційного притягання між матеріальними точками описується законом тяжіння Ньютона

, (3.8.4)

то приходимо до кінцевого виразу елементарної роботи сил тяжіння при зміні відстані на між матеріальними точками:

. (3.8.5)

Вся робота дорівнює інтегральній сумі таких елементарних робіт:

. (3.8.6)

Отриманий результат говорить, що робота сил тяжіння при переміщенні в полі тяжіння матеріальної точки не залежить від траєкторії переміщення, а тільки від початкового та кінцевого положення точки. Поле, в якому робота сил цього поля не залежить від траєкторії переміщення називається потенціальним, а сили, які діють зі сторони цього поля – консервативні. (в розділі електрики буде показано, що електростатичне поле теж потенціальне).

Крім того, що отриманий результат встановлює потенціальний характер гравітаційного поля, він ще встановлює особливу характеристику поля, яка визначається функцією виду:

. (3.8.7)

І ця характеристика називається потенціалом гравітаційного поля. Тоді робота сил гравітаційного поля при переміщенні у ньому матеріальної точки визначається різницею потенціалів поля простим співвідношенням

. (3.8.8)

Якщо матеріальна точка під дією сил тяжіння переміщається з даної точки поля у нескінченно віддалену ( ), то робота сил тяжіння дорівнює

.

Якщо , то чисельно. Отже, потенціал гравітаційного поля у даній точці чисельно дорівнює роботі сил цього поля при переміщенні матеріальної точки одиничної маси з даної точки поля у нескінченно віддалену. Але ця робота може виконуватись або не виконуватись, отже, вираз визначає можливу дію, що на латині звучить як потенціальна енергія. Таким чином, потенціальна енергія гравітаційної взаємодії двох матеріальних точок масами та на відстані дорівнює:

. (3.8.9)

Ввівши поняття потенціальної енергії гравітаційної взаємодії тіл, робота сил тяжіння дорівнює з протилежним знаком спаду потенціальної енергії гравітаційної взаємодії цих тіл тіла

. (3 .8.10)

В фізиці розрізняють приріст і спад деякої величини. Приріст – це різниця між кінцевим і початковим значенням, спад – різниця між початковим і кінцевим значеннями, хоча приріст може бути і від’ємним, а спад додатнім: в залежності від абсолютного значення величин.

Тепер, користуючись поняттям потенціалу гравітаційного поля, легко визначити роботу сил тяжіння Землі. Наприклад, матеріальна точка масою переміщається з точки 1, де висота над поверхнею Землі становить у точку 2 на висоті , як вказано на рис.3.8.2. Якщо потенціал першої точки , а другої , тоді робота сил тяжіння визначається співвідношенням 3.8.8. Що стосується значення потенціалу гравітаційного поля Землі на висоті , то тут варто згадати теорему Гауса. Так, раніше було показано, що гравітаційне поле Землі симетричне і, застосовуючи теорему Гауса, отримали важливий результат: при відстанях, які дорівнюють або більші радіуса Землі, гравітаційне поле Землі еквівалентне полю матеріальної точки маси планети, яка зосереджена у її центрі. Тому потенціал гравітаційного поля Землі у першій точці становить

, (3.8.11)

а у другій точці

. (3.8.12)

Підставивши ці значення в 3.8.11, будемо мати:

. (3.8.13)

Якщо та значно менше радіуса Землі, то

. (3.8.14)

Тоді

. (3.8.15)

Так як

, (3.8.16)

то отримуємо відому формулу роботи сил тяжіння в однорідному гравітаційному полі, де прискорення вільного падіння у всіх точках однакове:

. (3.8.17)