1. Потік вектора

Якщо в однорідному полі вектора знаходиться контур, орієнтований перпендикулярно до даного вектора, то потік вектора через площу такого контура дорівнює

. (2.6.23)

Якщо ж контур орієнтований не перпендикулярно до ліній поля, то потік через поверхню такого контура буде рівним

, (2.6.24)

де - кут між вектором та перпендикуляром до поверхні або

, (2.6.25)

де

Добуток значення площі контура (лише числове значення) на одиничний вектор перпендикулярний до площі контур

Для графічного зображення векторного поля використовують метод векторних ліній, дотична до яких співпадає з відповідним вектором поля у даній точці.

Однорідне векторне поле – таке поле, у якому у кожній точці відповідний вектор однаковий і векторні лінії є паралельними прямими.

Щоб підрахувати потік вектора неоднорідного векторного поля через довільну поверхню, спочатку вибирають такий малий елемент поверхні , щоб у межах цього елементу поле вважати однорідним, і тоді елементарний потік через таку елементарну поверхню буде становити

(2.6.26)

Весь потік через поверхню знайдеться як інтегральна сума

, (2.6.26)

де інтегрування проводиться по всій поверхні.

Потік вектора (2.3.8.12) через довільну замкнуту поверхню дає нам сумарну (інтегральну) характеристику даного поля – тобто скільки всього з цієї поверхні виходить (або входить) векторних ліній. Якщо «джерело» векторного поля знаходиться всередині довільної замкнутої поверхні і потік вектора через таку поверхню не залежить від форми поверхні, то така поверхня називається Гаусовою. «Потужність» джерела векторного поля характеризує особлива величина, яка навивається дивергенцію вектора даного поля, яка дорівнює гранці, до якої прямує потік вектора через поверхню, що стягується у точку до об’єму стягуваної поверхні

. (2.6.27)

А що там робиться всередині поверхні, яка частина, який її об’єм вносить найбільший вклад у створення векторного поля? Наприклад, глянемо, що робиться у точці Р.

Таким чином, знаючи дивергенцію векторного поля у нескінченно малому об’ємі, можна визначити потік вектора через замкнуту поверхню, що охоплює об’єм V

. (2.6.28)

Останній вираз і є теоремою Остроградського-Гауса.

Гравітаційне поле Землі (поле тіла сферичної форми)

Користуючись математичним апаратом теорії векторного поля, легко розрахувати напруженість гравітаційного поля Землі або однорідного сферичного тіла. Так, від центра Землі до її зовнішньої поверхні напруженість, як вказано на рисунку 2.6.5, зростає за лінійним законом

. (2.6.29)

При напруженість зменшується за законом експоненти

(2.6.30)

Тобто, гравітаційне поле Землі або однорідного сферичного тіла при таких відстанях таке ж саме, як і поле матеріальної точки.

Аномалії гравітаційного поля Землі. Поняття про гравітаційну розвідку

Наша планета Земля не являє собою точно геометричну сферу, однаковою в всіх точках нустиною, а має фтаці орму, яка називається геоїдом. Різниця між дійсним значенням напруженості, яке вимірюється у даній точці Землі та нормальним значенням саме для даної точки, називається аномалією гравітаційного поля і вимірюється в мілігалах (1 Гал= 1 см ∕ с²).

Міжнародний геофізичний і геодезичний союз у 1971 р. затвердив відповідну формулу для розрахунку нормальної напруженості поля Землі з урахуванням її геодної форми для даної географічної широти. Для вимірювання напруженості гравітаційного поля (або, що теж саме, прискорення вільного падіння) використовують спеціальні, під загальною назвою, гравіметри. За результатами вимірювань аномалій гравітаційного поля складають відповідні карти, з яких можна прогнозувати наявність корисних копалин. Такий метод пошуку отримав назву гравітаційної розвідки.