В зависимости от положения центральной точки (ЦТ) карты, гномоническая проекция может быть
(рис. 10.4):
a.→ нормальной (полярной) – если центральная точка (ЦТ) совмещена с географическими полюсом (рис. 10.4а);
b.→ экваториальной (поперечной) – если центральная точка (ЦТ) расположена на экваторе (рис.
10.4б);
c.→ косой – если центральная точка (ЦТ) расположена в некоторой промежуточной широте (рис.
10.4в).
Общие свойства карт в гномонической проекции:
1) → большие искажения как формы, так и размеров фигур, возрастающие по мере удаления от центральной точки (ЦТ) карты, поэтому измерение расстояний и углов на такой карте затруднено.
Измеряемые по карте углы и расстояния, называемые гномоническими, могут довольно значительно отличаться от истинных значений, вследствие чего для точных измерений карты в данной проекции не применяются;
2) → отрезки дуги большого круга (ортодромии) изображаются прямыми линиями, что позволяет использовать гномоническую проекцию при построении ортодромических карт.
Карты в гномонической проекции строятся, как правило, в мелких масштабах для участков поверхности Земли меньше полушария, а сжатие Земли не учитывается.
В стереографической проекции картинная плоскость касается поверхности сферы, а точка зрения (ТЗ) расположена в т. О2 (рис. 10.3), являющейся антиподом точки касания. Эта проекция равноугольная, однако, для решения навигационных задач она неудобна, так как основные линии – локсодромия и ортодромия – изображаются в этой проекции сложными кривыми.
Стереографическая проекция является одной из основных для построения справочных и обзорных карт обширных территорий.
10.4. Равноугольная картографическая проекция Гаусса
10.4.1. Общие положения
Равноугольная проекция Гаусса применяется для составления топографических и речных карт, а также и планшетов.
Основной картографической сеткой этой проекции является сетка прямоугольных координат.
В прямоугольной системе координат проекции Гаусса вся поверхность земного эллипсоида разбита на 60 6-ти градусных зон, ограниченных меридианами, каждая из которых имеет свое начало координат – точку пересечения осевого меридиана зоны с экватором.
Рис. 10.5. Равноугольная проекция Гаусса
Счет зон введется от Гринвичского меридиана к Е от № 1 до № 60 . Любую заданную точку в пределах зоны (т. А – рис. 10.5) получают в пересечении 2-х координатных линий:
1.→ дуги эллипса nAn′, параллельной осевому меридиану зоны и
2.→ кратчайшей линии АА′, проведенной из данной точки А перпендикулярно осевому меридиану.
За начало координат в каждой зоне принимается точка пересечения осевого меридиана с экватором. Удаление точки А′ (основание перпендикуляра) от экватора определяется абсциссой Х, а удаление
малого круга nn′ от осевого меридиана – ординатой У.
Абсциссы Х во всех зонах отсчитываются в обе стороны от экватора («+»→ к N).
Ординате У приписывается знак «плюс» (+), когда заданная точка удалена к Е (востоку) от осевого меридиана зоны, и знак «минус» (–), когда заданная точка удалена от осевого меридиана к W (западу).
Для определения отечественного номера зоны, в которой расположена заданная точка с долготой λ, применяют формулу:
n = (λ + 3°)/6 |
(10.16) |
(ближайшее целое число от 1 до 60). |
|
Деление долготы λ производится до ближайшего целого числа (для λ = 55°Е → n = 10). |
|
Для вычисления долготы L0 осевого меридиана зоны применяют формулу: |
|
L0 = 6 · n − 3° |
(10.17) |
(для n = 10 → L0 = 57°Е). |
|
При западной долготе: λ = 58°W → λ = 360° – 58° = 302°Е → n = 51, а
L0 = 303°Е или 57°W.
N – международная нумерация зон (от меридиана 180° к востоку). Для λE : N = n + 30 и n = N – 30 (для восточного полушария).
Для λW : N = n – 30 и n = N + 30 (для западного полушария).
В табл. 2.31а «МТ-2000» указаны значения отечественных (n) и международных (N) номеров долготных зон, их границы и долгота (λ0) осевого меридиана → см. табл. 10.1.
Прямоугольная система координат применяется при производстве топографических работ, составлении топографических карт, расчете направлений и расстояний между точками при малых расстояниях.
Граничными линиями карты в проекции Гаусса служат меридианы и параллели.
Положение заданной точки на карте определяют указанием плоских прямоугольных координат Х и
У.
Этим координатам соответствуют километровые линии: Х = const – параллельна экватору, и
У = const – параллельная осевому меридиану зоны.
Плоские координаты Х и У являются функциями географических координат точки и в общем виде могут быть представлены выражениями:
X = f1 · (φ,l); Y = f2 · (λ,l) |
(10.18) |
где l – разность долгот заданной точки и осевого меридиана, т.е.
l = λ − L0 |
(10.19) |
Вид функций f1 и f2 выводится так, чтобы обеспечивалось свойство равноугольности проекции при постоянном масштабе вдоль осевого меридиана зоны.
Километровые линии – линии одинаковых значений абсцисс X = const или ординат Y = const, выраженные целым числом км.
Километровые линии (X = const и У = const) → два семейства взаимно перпендикулярных прямых и оцифровываются соответствующими значениями координат в км. На картах в проекции Меркатора линии X изображаются кривыми, обращенными выпуклостью к полюсу, а линии Y – кривыми, выпуклостью к осевому меридиану и расходящимся по мере удаления от экватора.
Для исключения отрицательных значений ординат оцифровка осевого меридиана увеличена на 500
км.
(При Х = 6656 и У = 23612 → заданная точка удалена от экватора по осевому меридиану на 6656 км, находится в 23-й зоне и имеет условную ординату 612, а фактически → 112 км к Е).
Прямоугольные координаты Х и У выражают обычно в метрах.
Рамки карт в проекции Гаусса разбиты на минуты по широте и долготе. Значения широт и долгот
параллелей и меридианов, ограничивающих карту, надписываются в углах рамки.
Меридианы и параллели на карту не наносятся. При необходимости их можно провести через соответствующие деления минут широты и долготы на рамках карты.
Угол между километровой линией У = const и истинным меридианом называется сближением или схождением меридианов. Этот угол (
γ) отсчитывается от северной части истинного меридиана по часовой стрелке до северной части километровой линии У = const (см. рис. 10.6).
Схождению меридианов приписывают знак «плюс» (+), если заданная точка расположена к Е (востоку) от осевого меридиана, и знак «минус» (–), если она расположена к W (западу) от осевого меридиана зоны.
При известных координатах φ и λ заданной точки угол γ вычисляется по формуле:
γ = (λ − L0) · sin φ |
(10.20) |
где L0 – долгота осевого меридиана зоны.
Пример: для точки φ = 56°20′N; λ = 124°51′E: n = 21
L0 = 123°E и γ = +1°32,4′.
Ввиду ограниченной ширины зоны кратчайшие линии на картах в проекции Гаусса,
изображаются практически прямыми линиями, а масштаб по всей карте постоянен.
Эти свойства, а также наличие сетки прямоугольных координат являются главными причинами широкого применения данной проекции при всех топографических, геодезических и гидрографических работах.
Для решения задач, связанных с использованием как географических, так и прямоугольных координат точек, а также с прокладкой отрезков локсодромий, применяются карты, составленные в нормальной проекции Меркатора с дополнительно нанесенной сеткой прямоугольных координат Гаусса. Основные свойства таких карт полностью соответствуют таковым для нормальной проекции Меркатора.
10.4.2. Планшеты в проекции Гаусса
Планшеты в проекции Гаусса составляют в крупных масштабах (от 1:50.000). Границами планшета являются километровые линии, координаты которых: XS, XN, УЕ, УW пишут вдоль линий.
На рамках планшета наносят выходы километровых линий, соответствующих целому числу км. Для прокладки курсов и пеленгов на планшетах проводят несколько истинных меридианов через
10÷15′ по долготе.
Линии курсов прокладывают, отсчитывая углы от ближайших к месту судна, меридианов, а линии пеленгов – от меридианов (ближайших) тех точек, в которых измерялись пеленги.
Для прокладки пройденных судном расстояний вблизи одной из боковых рамок строится шкала стандартных морских миль (или S переводится в км).
Направления на картах или планшетах в проекции Гаусса часто определяют относительно километровых линий.
Угол между северной частью километровой линии У = const и направлением заданной прямой
– дирекционный угол α. Счет α ведется по круговой системе.
При известном дирекционном угле истинный пеленг (ИП) рассчитывается (рис. 10.6):
ИП = α + γ |
(10.21) |
Пример: в точке φ = 50°35′N; λ = 66°10′E измерен α = 156,2°. ИП = ?
Решение:
1.n = (λ/6) + 1 = 12.
2.L0 = 6n − 3° = 69°E.
3.γ = (λ − L0) · sin φ = −131′ = −2,2°.
4.ИП = α + γ = 154,0°.