2 . З отвору площею поперечного перерізу зі швидкістю у вертикальному напрямі витікає струмина рідин. Якою буде площа поперечного перерізу струмини на висоті ?

З умови нерозривності струмини

. (5.9.4)

Рисунок 5.9.1

Швидкість частинок рідини на висоті можна визначити з кінематичного рівняння

. (5.9.5)

Отже,

. (5.9.6)

Ця формула справедлива лише до верхньої точки струмини рідини. У верхній точці вертикальної струмени рідини відбувається зміна її швидкості на протилежну, відбувається ділення потоку рідини на окремі краплі, де втрачає сенс застосування умови нерозривності.

Поняття умови нерозривності струмини – фундаментальне поняття в задачах механіки рідин і газів, особливо коли йде мова про фізичний зміст добутку: площа поперечного перерізу трубки течії швидкість рідини чи газу = Q (їх об’ємна витрата). Використання такого поняття до застосування рівняння Бернуллі вимагає наступна задача:

3. Повітря продувається через горизонтальну трубку АБ, так що через кожну хвилинну протікає 1 л повітря. Площа поперечного перерізу широкої частини труби дорівнює 2см ² , а вузької 0,5см ². Знайти різницю рівнів води у трубці, що з’єднує дві частини труби АБ. Густина повітря 1,32 кг ∕ м³ .

Різниця рівнів води у трубці, що сполучає дві частини трубки течії АБ зумовлена різницею тисків повітря в широкій та вузькій частині трубки течії повітря. Тому скорочений запис умови даної задачі має вигляд: Рисунок 5.9.2

З рівняння Бернуллі для горизонтально розташованої трубки течії ідеальної рідини чи газу:

(5.9.7)

отримаємо

. (5.9.8)

Враховуючи, що

. (5.9.9)

Підставивши числові значення, отримаємо

Так як , то

Рівняння Бернуллі стосується ідеальних рідин і газів, у яких відсутнє внутрішнє тертя (в’язкість). Найпростіший випадок в’язкої течії – це течія в’язкої рідини у круглій трубі, і ця течія описується відповідною формулою Пуазейля. Застосуємо цю формулу для наближеного розрахунку нафтопроводу Одеса – Броди, схему якого наведено на рис.5.9.3.

Нафта танкерами доставляється в так званий термінал (спеціальний причал для розвантаження танкерів), а потім розвантажена нафта поступає на компресорну станцію, яка під високим тиском направляє потік нафти в нафтопровід.

Задача буде стосуватись розрахунку мінімального значення тиску, який забезпечить транспортування нафти від Одеси до Бродів.

Згідно формули Пуазейля, різниця тисків на кінцях нафтопроводу як круглої труби становить

. (5.9.10)

Для розрахунків необхідно перевести пропускну здатність нафтопроводу з млн.т. ∕ рік у враховуючи, що , а

. (5.9.11)

У наведеній задачі було використано значення в’язкості нафти . Це значення в’язкості можна отримати дослідним шляхом за допомогою відповідних приладів, які називаються віскозиметрами. В реології для цієї мети найбільшого застосування набули ротаційні віскозиметри. Тому наступна задача ставить своєю метою дати уявлення про теорію та практику ротаційного віскозиметра.

Ротаційний віскозиметр складається з двох коаксіальних циліндрів – зовнішнього 1 радіуса R=4см та внутрішнього 2 радіуса r=3,5см. Між циліндрами знаходиться досліджувана рідина 3. Зовнішній циліндр обертається з кутовою швидкістю і завдяки силам внутрішнього тертя у рідині приводить у рух внутрішній циліндр закручуючи на кут торсіон 4 (пружну нитку), на якому висить цей циліндр. Кут закручування торсіона фіксується за шкалою 5. Модуль кручення торсіона дорівнює . За наведеними числовими значеннями умови задачі визначити коефіцієнт в’язкості введеної у віскозиметр рідини.

Течія між циліндрами віскозиметра можна вважати плоскопаралельною, де швидкість лінійно змінюється у радіальному напрямі на відстані від нуля (внутрішній циліндр) до швидкості точок поверхні зовнішнього циліндра. Тому градієнт швидкості для даної течії дорівнює:

. (5.9.12)

Підставивши це значення градієнта швидкості у закон Ньютона для внутрішнього тертя, отримаємо:

. (5.9.13)

Враховуючи зв'язок між лінійною та кутовою швидкостями будемо мати:

. (5.9.14)

Сила внутрішнього тертя, яка приводить в обертання внутрішній циліндр віскозиметра, діє на площу , яка дорівнює бічній площі цього циліндра висотою :

. (5.9.15)

Отже,

. (5.9.16)

Що стосується значення сили , то це значення можна знайти з наступної умови: момент сили внутрішнього тертя дорівнює моменту сили деформації кручення торсіона:

. (5.9.17)

Підставивши це значення в 5.9.16, отримаємо кінцеву формулу для визначення коефіцієнту в’язкості даним ротаційним віскозиметром:

. (5.9.18)

У цій формулі доцільно ввести величину, яку називають сталою віскозиметра

. (5.9.19)

Тоді при заданій кутовій швидкості обертання зовнішнього циліндра в’язкість досліджуваної рідини дорівнює:

. (5.9.20)

Підставивши числові значення, отримаємо наступне значення сталої ротаційного віскозиметра . Тоді при кутовій швидкості і куті закручування торсіона на в’язкість досліджуваної рідини буде дорівнювати .

Визначення в’язкості цієї ж рідини може бути здійснена методом Стокса, про що йде мова у наступній задачі.

На кульку (рис.5.9.5) діють: сила тяжіння , вертикальна виштовхувальна (Архімедова) сила та сила опору (сила внутрішнього тертя). При рівномірному русі кульки рівнодійна цих сил дорівнює нулю або у скалярному вигляді ця умова запишеться так:

. (5.9.21)

Масу кульки можна виразити через її об’єм і густину сталі

. (5.9.22)

Виштовхувальна (Архімедова) сила визначається вагою рідини в об’ємі зануреного тіла (кульки):

. (5.9.23)

Сила за формулою Стокса дорівнює

. (5.9.24)

Отже,

Так як швидкість рівномірного руху кульки , то

5.10 Контрольні питання:

1. Яке поле називається векторним полем швидкостей?

2. Що собою являють лінії течії рідини або газу?

3. Яке означення трубки течії рідини чи газу?

4. Як вводиться поняття потоку вектора швидкості для однорідного та неоднорідного векторного поля швидкостей?

5. Як записується і формулюється умова нерозривності струмини?

6. Як записується та пояснюється рівняння Бернуллі для ідеальної рідини або газу?

7. Як, користуючись рівнянням Бернуллі, визначити швидкість витікання рідини з малого отвору?

8. Як записується рівняння Бернуллі для горизонтальної трубки течії?

9. Що собою являє трубка Піто і як вона використовується для визначення швидкості потоку рідини або газу?

10. Які приклади застосування рівняння Бернуллі у техніці?

11.Що, з точки зору механіки газів, являє собою циклон і торнадо?

12. У чому полягає явище внутрішнього тертя в рідинах і газах?

13. Як записується і формулюється закон Ньютона для внутрішнього тертя?

14. Який фізичний зміст коефіцієнта динамічної в’язкості?

15. Що собою являє течія Пуазейля. Як записується формула Пуазейля та який її фізичний зміст?

16.Яка різниця між ламінарним і турбулентним режимами течії рідини або газу ?

17. Як вводиться поняття чисел Рейнольдса?

18. Як пояснити підіймальну силу крила літака?

19. Як записати і пояснити формулу Стокса для руху у рідині чи газі тіла сферичної форми?

20. Якими питаннями займається реологія як розділ механіки рідин і газів?

21. Які системи називаються ньютонівськими та неньютонівськими?

22. Який вигляд мають реологічні криві бінгамівські пластики, псевдопластики та ділатантні системи?

23. Яка будова і принцип роботи ротаційного віскозиметра?

24. Яка будова і принцип роботи капілярного віскозиметра?

24. Яка будова і принцип роботи віскозиметра з падаючою кулькою?