4.5 Вільні осі обертання тіла. Головні осі інерції тіла. Головні моменти інерції тіла. Поняття про тензор моменту інерції тіла

У більшості випадків ми звикли до того, що тіло, яке обертається, має вісь обертання, яка з чимось зв’язана. Так, вісь обертання коліс автомобіля закріплена з його корпусом (технічна назва – рамою). Вісь обертання гелікоптера – це вал його двигуна, вісь обертання генератора електростанції жорстко зв’язана з самим генератором і т.п. І, напевне, ви знаєте, що у всіх випадках ці тіла, що обертаються, провинні бути «центровані», інакше, як кажуть – все почне «бити». Згадаймо випадок з велосипедним колесом, яке деформоване, зробило „вісімку”. Почнемо його обертати, тримаючи в руках вісь, і відчуємо, як при обертанні воно „б’є”, вісь треба втримувати. А якщо колесо відцентроване, то вісь обертання залишається нерухомою, наші зусилля прикладені лише для того, щоб колесо не впало, а якщо воно і буде падати, то положення осі обертання у просторі залишиться незмінним.

А що, з точки зору фізики, значить колесо «нецентроване», хоча у фізиці такий термін відсутній. Це значить, що центр мас тіла, що обертається, не співпадає з віссю обертання і тому, крім того, що обертається саме тіло, додатково починає обертатись його центр мас і, щоб втримати вісь обертання нерухомою, необхідно прикласти певні зусилля. При обертанні однорідного симетричного тіла його центр мас співпадає з віссю обертання, положення якої у просторі у відсутності зовнішніх сил залишається незмінним і така вісь обертання називається вільною віссю тіла.

Можна довести, що для тіла довільної форми з довільним розподілом мас існують три взаємно перпендикулярні осі, які проходять через центр мас тіла і ці осі можуть бути вільними осями і, у даному випадку, їх називають головними осями інерції.

Для однорідного паралелепіпеда головними осями інерції будуть, очевидно, осі О₁О₁ О₂О₂ О₃О₃, які проходять через центри протилежних граней (рис.4.5.1).

Для тіла, яке володіє осьовою симетрією, наприклад, для однорідного циліндра (рис.4.5.2), однією з головних осей інерції є вісь симетрії – вісь циліндра О₁О₁. Двома другими осями можуть бути дві будь-які взаємно перпендикулярні осі, які лежать в площині, перпендикулярній до осі циліндра і проходять через центр інерції цього тіла. Таким чином, для тіла з осьовою симетрією фіксована тільки одна з головних осей інерції.

Для тіла з центральною симетрією, тобто у кулі чи сфери, головними осями інерції є три будь-які взаємно перпендикулярні осі, які проходять через центр інерції. Тобто, жодна з головних осей інерції не фіксована.

Моменти інерції відносно головних осей інерції називають головними моментами інерції тіла.

У загальному випадку ці моменти інерції різні . Для тіла з осьовою симетрією два головних моменти інерції мають однакове значення, третій відмінний від них . І, нарешті, у випадку тіла з центральною симетрією всі три головних моменту інерції однакові .

Однаковими значеннями моменту інерції володіє не тільки однорідна куля або сфера, але інші тіла, наприклад куб. У загальному випадку така рівність може бути при відповідному розподілі мас тіла довільної форми. Всі подібні тіла називаються кульовими дзиґами і будь-яка вісь, що проходить через центр симетрії володіє властивостями вільної осі і, відповідно, жодна з головних осей інерції не фіксована подібно як у сфери.

Тіла, для яких , ведуть себе як однорідні тіла обертання і їх називають симетричними дзиґами. Нарешті, тіла з – це асиметричні дзиґи.

Найбільш стійким положенням при обертанні тіла є його обертання відносно осей, які відповідають максимальному і мінімальному значенню моменту інерції цього тіла.

Наприклад, підвісимо на нитці циліндричний стержень, який будемо розкручувати, збільшуючи його кутову швидкість, як вказано на рис.4.5.3 (розкручуємо ручною дрелькою).

а) Вісь обертання з найменшим моментом інерції співпадає з напрямом підвісу і тоді таке положення тіла (стержня) при його обертанні буде стійким.

б

В дійсності, точне співпадання вільної осі обертання з напрямом підвісу не завжди здійсниме. Тому при навіть незначному неспівпаданні вільної осі з найменшим моментом інерції обертання з підвісом приведе до нестійкого положення обертання. Відцентрові сили відхиляють стержень від вертикального положення.

в

При подальшому збільшенні кутової швидкості це відхилення стає все більшим, і стержень займає майже горизонтальне положення, обертаючись відносно вільної осі обертання з найбільшим моментом інерції.

Отже, для обертання тіла відносно вільних (головних) осей маємо, що момент імпульсу відносно цих осей визначається наступними співвідношеннями:

(4.5.1)

д е – моменти інерцій відносно осей, що співпадають з головними осями, – кутові швидкості обертання відносно цих осей. У загальному випадку, коли обертання відбувається відносно довільно орієнтованих осей XYZ зв'язок між компонентами моменту імпульсу стає більш складним:

(4.5.2)

де – коефіцієнти, які мають розмірність моменту інерції, але «особливого» моменту інерції. Так, перший індекс «пробігає» три значення і він вказує, відносно якої осі обертання визначається момент імпульсу. Другий індекс теж «пробігає» три значення і показує, відносно якої з осей обертається дана вісь.

Наприклад, про що говорить перше рівняння у виразі 4.5.2? Так, компонента моменту імпульсу стосується обертання тіла відносно осі ОХ з кутовою швидкістю відносно цієї ж осі. Але сама вісь ОХ може обертатись з кутовою швидкістю відносно осі OY, про що вказує друга компонента . Третя компонента стосується обертання осі ОХ відносно осі OZ з кутовою швидкістю . Аналогічно, розкривається фізичний зміст компонент імпульсу в наступних рівняннях, де мова йде про обертання стосовна осей OY та OZ . Так ось, ці «особливі» моменти інерцій, а, точніше, коефіцієнти пропорційності, біля відповідних кутових швидкостей разом визначають момент інерції тіла сукупністю дев’яти величин, які називаються тензором інерції тіла (тензор від латинського tendere, «тягнутись, простиратися»):

. (4.5.3)

Раніше ми розглядали момент інерції у найпростішому випадку – обертання тіла відносно фіксованої осі. Поняття тензора інерції – більш загальне поняття. Знаючи тензор інерції, можна знайти його окремі компоненти, у тому числі відносно фіксованої осі. Такі питання розглядаються в спецкурсах теоретичної фізики та теоретичної механіки, а також в прикладних задах інженерної механіки. Тут лише відмітимо, що діагональні компоненти тензора – це моменти інерції відносно відповідних координатних осей. Ці компоненти називаються осьовими моментами інерції. Якщо координатні осі співпадають з головними моментами інерції, то тензор інерції стає «чисто» діагональним, відсутні недіагональні компоненти

. (4.5.3)