4.4 Моменти інерції різних тіл. Теорема Штейнера
Визначення моменту
інерції різних тіл надзвичайно важлива
практична задача, особливо в техніці,
де присутні обертові рухи деталей та
механізмів. Для матеріальної точки
момент інерції дорівнює добутку маси
на квадрат відстані до осі обертання
,
,
а момент інерції тіла – сумі моментів
інерцій всіх матеріальних точок.
Математично момент інерції тіла відносно
заданої осі знаходиться наступним
чином. Спочатку тіло розбивається на
нескінченно малі елементи масою
,
щоб вважати їх матеріальними точками.
Елементарний момент інерції точки
такої маси на відстані
від осі обертання дорівнює:
.
(4.4.1)
Тоді момент всього тіла визначається як інтегральна сума моментів інерцій всіх його матеріальних точок:
.
(4.4.2)
Як це робиться, покажемо на окремих прикладах визначення моменту інерції деяких тіл правильної геометричної форми.
1.
Момент інерції
однорідного стержня
масою
і довжиною
відносно осі, яка проходить перпендикулярно
до його кінця (рис.4.4.1).
Виберемо такий
малий елемент
,
щоб його вважати матеріальною точкою
масою
,
де
– лінійна густина – маса одиниці
довжини,
(кг/м), тоді
,
(4.4.3)
а момент інерції такого елемента дорівнює:
.
(4.4.4)
Момент інерції всього стержня визначиться інтегральною сумою:
(4.4.5)
2
.
Момент інерції
тонкого кільця або тонкостінного
циліндра
відносно осі, що проходить через центр.
Як і для попереднього
прикладу з однорідним стержнем, тепер
уже на кільці (рис.4.4.2а) виділяємо елемент
,
маса якого як матеріальної точки дорівнює
.
Лінійна густина кільця загальною масою
і радіуса
визначається як відношення
.
Таким чином, момент інерції виділеного
елемента дорівнює:
.
(4.4.6)
Сумарний момент інерції кільця знайдеться інтегральною сумою
.
(4.4.7)
Що стосується моменту інерції тонкостінного циліндра (рис.4.4.2б), то очевидно, що його момент інерції дорівнює сумі моментів інерції тонких кілець, які, по суті, утворюють тонкості ний циліндр, тобто:
,
(4.4.8)
де – маса всього циліндра.