3. Два тіла рухаються назустріч одне одному з швидкостями . Після абсолютно непружного удару ці тіла стали рухатись разом з швидкістю . Визначити відношення мас цих тіл.
Д
ано:
два тіла
,
напрями протилежні
після непружного
удару
----------------------------------------
До удару імпульс системи дорівнює
.
Після абсолютно
непружного удару тіла рухаються як одне
ціле масою
з швидкістю
,
так що імпульс тіл після такого
непружного удару становить:
.
Тоді, згідно закону збереження імпульсу:
.
Переходячи до
проекцій на вибраний напрям (вісь ОХ)
та враховуючи числові дані умови задачі,
можна записати
.
4. З самохідної гарматної установки загальною масою 8 т вистрілюють снаряд масою 5 кг зі швидкістю 1200 м∕ с під кутом 600 до горизонту. Визначити швидкість віддачі установки.
Дано:
загальна маса
двох тіл;
відокремлюється
зі швидкістю
під кутом 600 горизонту.
--------------------------------
До пострілу імпульс системи (гармата + снаряд) дорівнює нулю. Система замкнута, тому після взаємодії її імпульс зберігається (теж дорівнює нулю):
,
звідки
.
Знак «мінус» вказує на протилежний напрям швидкості другого тіла (гармати).
В проекція на
вибраний напрям (вісь ОХ) і, враховуючи,
що
,
будемо мати
.
Підставляючи числові значення, отримаємо, що модуль швидкості віддачі даної гармати при такому пострілі дорівнює:
м.
Розглянута задача про віддачу при пострілі – це, по суті, задача про реактивний рух. Але в ракетах маємо справу з реактивним рухом тіла змінної маси, адже при згоранні палива маса ракети зменшується. Тому пропонується розв’язати наступну задачу. Будемо самі конструкторами космічних кораблів.
Необхідно вивести на навколоземну орбіту одноступеневий космічний апарат масою 500 кг, надавши йому першої космічної швидкості 7,91 км∕ с. Яка для цього потрібна маса палива, якщо швидкість витікання газів, що утворюються при його згорання дорівнює 2 км∕ с.
Згідно рівняння Ціолковського
визначимо необхідну масу палива, яка забезпечить при згоранні необхідну швидкість ракеті:
Підставивши всі числові значення величин, наведених в умові задачі, отримаємо:
.
Строго кажучи, в ці 26500 кг входить і маса ракети. Тому маса палива буде становити 26500 кг–500 кг = 26000 кг, тобто 26 т, і це за умови стовідсоткового коефіцієнта корисної дії двигунів ракети, який насправді не перевищує 50% .
Щоб більш глибоко зрозуміти закони збереження, доцільно розглянути наступну задачу, в якій присутні всі приклади законів збереження. Надалі побачимо тут непружний удар, закон збереження імпульсу, кінетична і потенціальна енергія та закон збереження і перетворення енергії.
Тіло (кулька)
масою
рухається зі швидкістю
і попадає у дерев’яний брусок масою
та застрягає у ньому. Брусок підвішений
на невагомій нитці довжиною
.
Після такого удару нитка з бруском
відхиляється від вертикалі на кут
.
Встановити зв’язок між всіма величинами,
які характеризують дану систему,
наприклад визначити максимальний кут
відхилення нитки від вертикалі.
1. До удару імпульс системи визначається тільки імпульсом першого тіла. Друге тіло (брусок) нерухоме (рис.3.13.5):
.
2. У результаті непружного удару, коли перше тіло (кулька) застрягає у другому (позиція 2 рис.3.13.5), тіла рухаються як одне ціле з швидкістю так, що імпульс системи дорівнює:
.
Згідно закону збереження імпульсу:
,
звідки модуль швидкість тіл після удару становить:
і їх кінетична енергія дорівнює
.
3. При
подальшому русі системи її кінетична
енергія переходить у потенціальну і
на висоті
,
яка відповідає максимальному відхиленню,
потенціальна енергія
дорівнює кінетичній енергії. Прирівнюючи
значення цих енергій, отримаємо, що
після такої непружної взаємодії два
тіла, як одне ціле, піднімуться на висоту
від свого попереднього положення:
.
Що стосується кута відхилення , то його можна визначити з простих геометричних співвідношень:
.
Підставивши значення висоти , отримаємо:
Застосування законів збереження не тільки спрощує розв’язування багатьох задач, але дозволяє зрозуміти суть фізичних явищ, про які йде мова у задачах. У попередніх розділах кінематики та динаміки були наведені приклади такого застосування законів збереження. Наприклад, задача з кінематики про рух тіла, кинутого під кутом до горизонту, дуже просто розв’язувалась застосуванням закону збереження і перетворення енергії (див.1.6.4). Цей самий закон збереження і перетворення енергії дозволив без інтегрального обчислення розв’язати задачу динаміки про визначення швидкості шнура, який зісковзує зі столу (див.2.7, задача 3). Так само значно спрощувалась задача динаміки руху тіла по похилій площині (див.2.7, задача 4).