2. Дано:

m = 0,6 маса тіла яке рухається

у вертикальному напрямі на шляху;

S= 274 м набуває швидкості;

v= 11 км ∕с.

------------

Р? Яка вага тіла (реакція опори N на горизонтальну площину)?

площину)

Згідно (2.4.6. шукана реакція опори дорівню

. (2.7.3)

Прискорення знаходимо з кінематичного рівняння

. (2.7.4)

Підставивши числові значення, отримаємо, що у даному випадку вага тіла (циліндра на голові Ніколя) масою 0,6 кг становить 132488 Н – це ніби тіло «набуло» маси 13248,8 кг або трошки більше 13 тон. Тобто, сміливці у такому снаряді Жюля Верна зазнавали би перевантаження у 2000 разів. Нагадаємо, що максимальне короткочасне перевантаження, яке може витримати людина не перевищує 15g.

3. Прикладами руху тіл з прискоренням у вертикальному напрямі є рухи тіл, підвішених на нитці (канаті, пружині і т.п.). Спочатку розглянемо рух одного тіла, і задачею буде описати динаміку його руху з прискоренням у вертикальному напрямі.

На тіло діє сила натягу нитки та сила тяжіння, і рівнодійна цих сил надає тілу прискорення. Тоді у векторній формі для даного випадку другий закон Ньютона, який встановлює шуканий зв’язок запишеться у вигляді

. (2.7.5)

Переходячи до проекцій на вибраний напрям (вісь ОХ), будемо мати рівняння

, (2.7.6)

звідки прискорення тіла дорівнює

. (2.7.7)

Якщо, підставивши числові значення всіх величин отримаємо , то напрям руху вздовж вісі ОХ. У випадку напрям руху протилежний (вниз).

Аналогічний підхід до задачі про рух зв’язаних тіл.

На кожне з тіл діють сили тяжіння та сили натягу нитки так, що рівнодійна цих сил надає прискорення цим тілам. Тому у векторному виді рівняння динаміки тіл мають вигляд:

(2.7.8)

(2.7.9)

Переходячи до проекцій на вибраний напрям руху (вісь ОХ) з системи рівнянь отримаємо шукане значення прискорення

. (2.7.10)

Якщо - напрям руху вздовж вісі ОХ, напрям руху протилежний

5. Рух тіла під дією змінної сили.

На горизонтальній поверхні (поверхня стола) знаходиться гнучкий шнур довжиною l і починає зісковзувати. Якою буде швидкість шнура в момент, коли він повністю зісковзне з поверхні, як вказано на рисунку

Навіть не розв’язуючи задачі, бачимо, що рух даного тіла довжиною l відбувається під дією сили, яка зростає від нуля до , де - маса всього тіла.

Розв’язання:

Рух всього тіла (всього шнура) масою m відбувається під дією сили , що дорівнює частині ваги цього тіла, частині довжиною х. Тоді, згідно другого закону Ньютона,

, (2.7.11)

де

. (2.7.12)

Дане тіло (шнур) вважаємо однорідним тілом з однаковим поперечним по всій довжині перерізом, так що лінійна густина цього тіла, тобто маса одиниці довжини дорівнює

. (2.7.13)

Тому маса тіла довжиною х буде становити і відповідна вага цієї частини . Так як рух відбувається під дією змінної сили, то прискорення теж буде змінюватись, тому розглянемо таке мале переміщення , щоб силу вважати сталою. При такому нескінченно малому переміщенні прискорення, як миттєве прискорення, визначається як похідна від швидкості по часу . У результаті отримуємо диференціальне рівняння

. (2.7.14)

Для розв’язку такого рівняння помножимо його праву і ліву частину на і, враховуючи, що будемо мати:

. (2.7.15)

Інтегруючи останній вираз

(2.7.16)

отримаємо

. (2.7.17)

Сталу інтегрування С визначимо з початкової умови: при швидкість . Отже, С=0. Таким чином, шукана залежність швидкості тіла довжиною l має вигляд

. (2.7.18)

Якщо вказаний в умові задачі шнур повністю зісковзне зі столу, тобто , то його швидкість в цей момент відриву дорівнює

. (2.7.19)

Чи не нагадує отримана формула формулу швидкості вільного падіння тільки без двійки під коренем? Добре, зробимо двійку, позначивши і тоді

. (2.7.20)

Тобто, швидкість шнура в момент його зісковзування з горизонтальної поверхні дорівнює швидкості вільного падіння матеріальної точки з висоти, рівної половини довжини шнура, тобто, з якої висоти впав центр ваги шнура. Такий висновок дає можливість дуже просто, без інтегралів розв’язати дану задачу на основі закону збереження і перетворення механічної енергії. Справді, якщо центр ваги шнура опускається з висоти , то його потенціальна енергія переходить у кінетичну

. (2.7.21)

А враховуючи, що , приходимо до раніше виведеної формули .

Про те, що застосування законів збереження спрощує розв’язок багатьох задач, вже було сказано в розділі «Кінематика». Тому наступним прикладом такого підходу будуть задачі про рух тіла по похилій площині.