3. Град, падаючи з хмари за останню секунду свого падіння пролітає шлях, що становить 0,19 всієї висоти. Визначити час падіння та висоту, з якає падає град. Опором повітря нехтувати.

Звичайно, тут необхідна формула вільного падіння, але як в цю формулу ввести останню секунду і те, що протягом цієї останньої секунди пройдено 0,19 всього шляху (висоти). Тут доцільно зробити рисунок, який ілюструє таке падіння, і, по суті, цей рисунок буде коротким записом і майже готовим розв’язком задачі (рис1.6.5).

Рівняння описує вільне падіння зі всієї висоти за весь час падіння, а рівняння стосується вільного падіння з висоти за час, менший на 1 секунду від загального часу t. Розділивши друге рівняння на перше, отримаємо

.

Беручи прискорення вільного падіння 10 м⁄с², висота, з якої падає град дорівнює

Наявність опору повітря суттєво впливає на падіння тіл

3 Рух тіла, кинутого горизонтально

Всі попередні задачі стосувались окремо рівномірного або рівнозмінного рухів. А що буде, коли тіло приймає участь в двох рухах – один з яких є рівномірним, а другий рівнозмінним. Прикладом такого руху є рух тіла, кинутого горизонтально. Тому розглянемо загальну задачу:

З висоти h в горизонтальному напрямі кинули тіло з швидкістю v_x. Описати кінематику такого руху

Тут можна виділити три рівня складності питань.

.

3 рівень: Визначити нормальне і тангенціальне прискорення тіла в будь якій точці траєкторії, а також її радіус кривизни в цій точці.

Перший рівень складності.

: Визначити час t руху, дальність S польоту тіла, швидкість v тіла в момент падіння на напрям швидкості – кут α між вектором швидкості і горизонтом Тіло вважати матеріальною точкою, опором повітря нехтувати.

В даному випадку тіло приймає участь в двох незалежних рухах: рівномірний прямолінійний в горизонтальному напрямі з швидкістю v_x та вільне падіння з висоти h. (рис.1.6.6 А).

Тому ці рухи можна описати відповідними рівняннями, які відповідають розв’язку найпростішого першого рівня складності.

– рівняння рівномірного руху, S – дальність польоту тіла, відстань по горизонталі від точки кидання до точки падіння.

– рівняння вільного падіння.

У даному русі горизонтальна швидкість v_x є сталою, змінюється швидкість v_y у вертикальному напрямі, як швидкість вільного падіння, тому

.

Крім того, можна використати відомі співвідношення

.

Швидкість v, як вектор у будь якій точці траєкторії, є дотичним до траєкторії. З рисунка бачимо, що шукана швидкість v є результуючою швидкості v_x та v_y і модуль швидкості v дорівнює

.

Напрям швидкості визначається простим тригонометричним співвідношенням

.

Другий рівень складності

У вибраній системі відліку записати рівняння траєкторії руху тіла

Тут тілом відліку може бути дім, вежа, гора і т.п., звідки в горизонтальному напрямі кидають інше тіло. З тілом відліку зв’язуємо систему координат. У даному випадку найзручніше її початок вибрати в точці кидання, спрямувавши вісь X горизонтально, вісь Y вертикально вниз. Тоді рівняння рухів вздовж таких осей прийме вигляд:

,

звідки

,

тобто отримали рівняння параболи, крутизна якої визначається коефіцієнтом .

Третій рівень складності .

Визначити нормальне і тангенціальне прискорення тіла в будь якій точці траєкторії, а також її радіус кривизни в цій точці.

Цей рівень складності вимагає розуміння фізичного змісту понять нормального і тангенціального прискорень і чому саме в даному випадку руху тіла, кинутого горизонтально, ми зустрічаємось з такими прискореннями. З рис.1.6.6.Б бачимо,що вектор результуючої швидкості стає «довшим», отже, змінюється швидкість за модулем, тобто існує тангенціальне прискорення. Крім того, вектор результуючої швидкості змінює свій напрям, значить, присутнє нормальне прискорення. А що «розтягує» і «закручує» вектор швидкості? Звичайно, це все робить земне тяжіння, де всі тіла падають з однаковим прискоренням – прискоренням вільного падіння g. Отже, у нашому випадку повне прискорення – це прискорення вільного падіння. Рис.1.6.6Б є, по суті, розв’язком визначення нормального та тангенціального прискорень у заданій точці . Вектор повного прискорення, тобто вектор прискорення вільного падіння, розкладаємо на дві складові: тангенціальне прискорення , напрямлене по дотичній до траєкторії та нормальне , перпендикулярне до швидкості.

З подібності векторних трикутників швидкостей та прискорень маємо:

.

Визначивши нормальне прискорення з співвідношення

,

легко визначити радіус кривизни траєкторії

.

На рис. радіус кривизни траєкторії в даній точці – це радіус кола, яке своєю елементарною дугою співпадає з елементарною дугою траєкторії.

Для прикладу, користуючись вище наведеними формулами, визначимо радіус траєкторії тіла в точці, яка відповідає положенню тіла, кинутого горизонтально зі швидкістю 10 м⁄с через 1 с руху. Через цей час швидкість тіла становитиме .

Отже, нормальне прискорення буде рівним

.

Визначивши нормальне прискорення, легко підрахувати радіус кривизни траєкторії

.

Що стосується тангенціального прискорення, то

і через 1с воно буде становитиме

.

До третього рівня складності про рух тіла, кинутого горизонтально, можна віднести задачі про кінематику одночасного руху декількох тіл.

2. Із однієї точки вилітають дві частинки з горизонтально протилежними швидкостями v_1х =2м/с та v₂ =5 м/с. Через який час кут між напрямами швидкостей цих частинок стане рівним 90⁰?

Мова йде про результуючі швидкості v₁ v₂, які дотичні до траєкторії. Розв’язок задачі стане зрозумілим, якщо в одну точку перенести ці вектори, які згідно умови задачі перпендикулярні. (рис.1.6.7) Горизонтальні складові швидкостей залишаються сталими, а вертикальна складова v_y, як швидкість вільного падіння, , буде однаковою і ця швидкість, як вектор, є спільною висотою двох прямокутних трикутників, де гіпотенузами є швидкості та і катетами , .

Тому

.

З «великого» прямокутного трикутника, де гіпотенузою є сума отримаємо

.

Прирівнюючи два останніх рівняння і враховуючи, що , отримаємо

.