4.7. Примеры применения групповых законов к конкретным молекулам
Наглядную
иллюстрацию групповых правил можно
продемонстрировать на примере молекулы,
которая принадлежит к точечной группе
симметрии С3,
включающей следующие операции симметрии:
I
(идентичная операция).
(поворот молекулы на 120° вокруг оси Z
по часовой
стрелке),
(тот же поворот на 120° против часовой
стрелки),
– плоскости
отражения, проходящие через атом N и
соответствующие атомы водорода Н1,
Н2,
Н3
(см.
рис. 4.6).
Возможны и другие операции симметрии,
но все они будут эквивалентны какой-либо
из приведенных. Например, поворот
молекулы по часовой стрелке вокруг оси
Z
на 240° (т. е.
)
равносилен операции
(повороту на 120° против часовой стрелки).
Можно также показать, что последовательное
повторение какой-либо из этих операций
эквивалентно некоторой однократной
операции из рассмотренной группы.
применим
к данной молекуле операцию
.Это приведет к обмену местами атомов
водорода Н2
и Н3.
Если к полученной при этом конфигурации
применим операцию С3+,
то окончательная конфигурация будет
такой же, что и в случае однократного
применения операции
к исходной конфигурации. По групповым
законам это можно записать так:
=
(т. е. произведение одной операции
симметрии на вторую дает новую операцию
симметрии из той же группы, а произведение
двух элементов группы дает третий
элемент, принадлежащий группе). Если
рассмотреть все возможные комбинации
умножения, то получится табл. 4.2,
в которой операции, примененные первыми,
записаны в первой строке таблицы.
Таблица 4.2
Таблица произведений точечной группы симметрии С3
|
I |
C3 |
С3-1 |
(1) |
(2 ) |
(3 ) |
I |
I |
C3 |
С3-1 |
(1) |
(2 ) |
(3 ) |
C3 |
C3 |
С3-1 |
I |
(3 ) |
(1) |
(2 ) |
С3-1 |
С3-1 |
I |
C3 |
(2 ) |
(3 ) |
(1) |
(1) |
(1) |
(2 ) |
(3 ) |
I |
C3 |
С3-1 |
(2 ) |
(2 ) |
(3 ) |
(1) |
С3-1 |
I |
C3 |
(3 ) |
(3 ) |
(1) |
(2 ) |
C3 |
С3-1 |
I |
Согласно таблице можно найти, что произведение двух любых элементов будет давать третий элемент группы, который находится на пересечении строки и столбца. Такая таблица называется таблицей произведений группы.
Пользуясь этой таблицей, можно проверить все групповые правила, сформулированные в п. 4.1, т. е. последовательное выполнение двух операций дает третью операцию, принадлежащую группе, совокупность содержит единичный элемент. для всех элементов выполняется правило ассоциативности. каждый элемент имеет себе обратный. например, операции С3 обратная операция , которая уничтожает действие первой, т. е. С3 = I.
Следует отметить, что коммутативный закон для произведений не обязательно выполняется, т. е. окончательный результат действия двух операций, вообще говоря, зависит от порядка их следования (проверить это предоставляем читателю).
Для молекулы типа аммиака NH3 все шесть элементов симметрии можно разбить на три типа операций: операция идентичности I, поворота С3 и отражения . Каждый из этих типов образует класс. Таким образом, шесть операций симметрии молекулы NH3 разбиваются на три класса (I, 2С3 , 3). В молекуле воды (С2) четыре операции симметрии образуют 4 класса (т. е. один элемент симметрии образует класс). Согласно групповым законам две операции образуют один класс, если одну из них можно получить из другой некоторым преобразованием координат, состоящим из элементов симметрии данной точечной группы. Указанные операции эквивалентны в том смысле, что взаимно заменяют друг друга при различном выборе системы координат. Свойство волновой функции или колебательной координаты быть симметричной или антисимметричной по отношению к определенной операции симметрии одинаково для всех операций, принадлежащих одному классу. Для сокращения все шесть элементов точечной группы С3 обозначают так: I, 2С3, 3 (табл. 4.3).
Соотношение между элементами точечной группы С3 неудобно для пользования в силу своей громоздкости. Поэтому на практике стараются упростить таблицу, заменив ее элементы некоторой матрицей или просто числом, лишь бы они воспроизводили таблицу произведений (т. е. полностью удовлетворяли групповым законам). Любой набор таких выражений, который удовлетворяет соотношениям, даваемым таблицей произведений, называется представлением группы (Г). Представления бывают приводимые и неприводимые. Одно из возможных представлений группы С3, приведено в табл. 4.3. Легко проверить, что каждое представление в этой таблице удовлетворяет таблице произведений.
Таблица 4.3