1 Проекція вектора на площину

Проекцією вектора на площину є вектор , який обмежений проекціями початку і кінця вектора на задану площину (рис.1).

Рис. 1

Отже, щоб знайти проекцію деякого вектора на якусь площину, наприклад, площину (див. рис. 1), необхідно з точки і , які визначають початок і кінець вектора , опустити перпендикуляри і на задану площину. Основи цих перпендикулярів і визначають проекції точок і на площину .

2 Проекція вектора на вісь

Проекцією вектора на вісь є скалярна алгебраїчна величина, яка дорівнює взятій з відповідним знаком довжині відрізка, обмеженого проекціями початку і кінця вектора на задану вісь (рис.2).

Рис. 2

Отже, щоб знайти проекцію деякого вектора на якусь вісь, наприклад, вісь (див. рис. 2), необхідно з точок і , які визначають початок і кінець вектора , опустити перпендикуляри і на задану вісь. Основи цих перпендикулярів (точки і ) визначають проекції точок і на вісь , а відрізок – проекцію вектора на вісь .

Проекція вектора на вісь найчастіше позначається тією ж літерою, що і вектор, з індексом осі на яку він проектується. В даному випадку . Проекції вектора на декартові осі координат позначаються так: .

Проекція вектора на вісь вважається додатною, якщо напрям відрізка, що визначає цю проекцію, збігається з напрямом осі ( , див. рис. 2) і від’ємною – в протилежному випадку( , див. рис. 3,а).

Рис. 3

Якщо позначити кут між вектором і додатним напрямом осі, то (див. рис. 3.б), отримаємо

, (Д.1)

тобто,

проекція вектора на вісь дорівнює добутку модуля вектора на косинус кута між додатним напрямом осі і вектором, який проектується.

З формули (Д.1) випливає, що:

, якщо ;

, якщо або ;

, якщо (рис. 3).

Зауваження. Якщо вектор і вісь не лежать в одній площині (рис. 4), то для знаходження проекції цього вектора на вісь часто користуються подвійним проектуванням. Через вісь проводять довільну площину , на яку проектують вектор . Величина цієї проекції , де – кут між вектором і площиною .

Рис. 4

Отриману проекцію проектують на дану вісь : . Тут – кут між вектором і додатним напрямом осі .

3 Приклади розв’язування задач на рівновагу тіла

Задача 3.1. Вуличний ліхтар вагою Н підвішено до вертикальної стіни за допомогою кронштейна, як вказано на рис. 5. Визначити зусилля, які виникають в стержнях крон-штейна, вважаючи їх невагомими. Кріплення в точках , і – шарнірні.

Розв’язання. Розглянемо рівновагу вузла . На нього діє одна задана сила – це сила ваги ліхтаря (рис. 6). На вузол накладено дві в’язі: невагомі стрижні і з шарнірами на кінцях. Їх реакції, як відомо (див. § 5), напрямлені вздовж цих стрижнів. Як видно з рисунка, стрижень працює на розтяг, тому його реакція напрямлена від вузла . Стрижень працює на стиск, і його реакція напрямлена до вузла. Отже, сили, що діють на вузол , утворюють плоску систему збіжних сил і до неї можна застосувати як геометричну, так і аналітичну умови рівноваги (див. § 8).

Рис. 5

Рис. 6

Геометрична система рівноваги – це замкнутий силовий багатокутник. Для побудови його з точки , що береться поза основним рисунком, в певному масштабі відкладаємо відому силу ( , рис. 7). З початку і кінця сили проводимо промені, які паралельні стрижням (наприклад, , ). Точку перетину цих променів позначимо буквою . Оскільки одержаний силовий трикутник повинен бути замкнутим, то вектори і визначають реакції відповідних стрижнів на шарнір . Зазначимо, що силовий трикутник можна було б побудувати так, як вказано на рис. 8. Оскільки побудову виконано в певному масштабі, то, замірявши сторони трикутника, знаходимо величини відповідних реакцій. Згідно з рис. 7 маємо

, .

Рис. 7

Рис. 8

Часто, для одержання більшої точності, побудований силовий трикутник розв’язують аналітично. Так, в даному випадку силовий трикутник є прямокутним, в якому (рис. 7 і 8), тоді за теоремою синусів маємо

,

звідси

, .

Для аналітичного розв’язку задачі необхідно скласти рівняння рівноваги плоскої системи збіжних сил.

В нашому випадку (див. рис. 6, на якому вказано вибрану систему координат) маємо

,

.

Звідси отримаємо

,

,

що узгоджується з попереднім.

Задача 3.2. Вантаж вагою висить на тросі, який перекинуто через блок і напрямлено до коловорота (рис. 9). Нехтуючи тертям на блоці і вагою стрижнів, визначити зусилля в стрижнях , і , які підтримують блок , вважаючи їх кріплення шарнірними.

Рис. 9

Розв’язання. Розглянемо рівновагу блока . На нього діють (рис. 10):

– натяги частин і троса, які, очевидно, є рівними між собою і чисельно дорівнюють вазі вантажу, тобто

;

Рис. 10

– реакції невагомих стрижнів з шарнірами на кінцях. Ці реакції напрямлені вздовж прямих , і і дорівнюють шуканим зусиллям в стрижнях. До того ж, вважаючи, що всі стрижні працюють на розтяг, реакції їх напрямляємо від вузла .

Отримана система сил є просторовою збіжною. Складаємо її рівняння рівноваги

;

;

.

Звідси знаходимо

.

Оскільки , то остаточно отримаємо

,

.

Знак мінус біля значення вказує на те, що відповідний стрижень, в даному випадку стрижень , працює на стиск.

Задача 3.3. Знайти реакції жорсткого защемлення балки , яка завантажена на відрізку рівномірно розподіленим навантаженням інтенсивності Н/м, в точці зосередженою силою кН під кутом до балки і парою сил з моментом кНм. Розміри вказані на рис. 11.

Розв’язання. За об’єкт рівноваги вибираємо балку . Активними силами, прикладеними до балки, будуть: сила ; пара сил з моментом ; рівномірно розподілене навантаження , рівнодійна якого дорівнює

Рис. 11

.

В’яззю, накладеною на балку, є жорстке защемлення . Заміняємо дію цієї в’язі реакціями і реактивним моментом .

На балку діє плоска довільна система сил. Рівняння рівноваги

;

;

.

Розв’язуючи цю систему рівнянь, отримаємо

кН ,

кН ,

кНм .

Задача 3.4. Плита вагою утримується в горизонтальному положенні за допомогою сферичного шарніра , завіси і невагомого стрижня , розміщеного в площині, паралельній координатній площині (рис. 12). У площині плити діє пара сил з моментом . Визначити реакції опор і зусилля в стрижні , якщо кН, кН, м, м, .

Рис. 12

Розв’язання. Об’єкт рівноваги – плита. Активна сила , пара сил з моментом , реакції в’язей показані на рис. 12. На плиту діє довільна просторова система сил, для якої запишемо рівняння рівноваги

;

;

;

;

;

.

Розв’язуючи отриману систему рівнянь знаходимо невідомі реакції

;

; ;

; .