§ 43 Обертання твердого тіла навколо нерухомої осі

Р

Рис. 98

озглянемо тверде тіло, яке здійснює такий рух, при якому дві його точки (наприклад, точки і ) є нерухомими (рис. 98).

Тоді з формули (2.31)

отримуємо, що тобто

.

Виберемо тепер на прямій довільну точку , для якої вектор , де – деяке число. За формулою (2.31) визначимо швидкість точки

, або

Оскільки , – число, то отримуємо, що . Точка на прямій вибрана довільно, а це означає, що пряма є геометричне місце точок, швидкості яких дорівнюють нулеві, тобто є віссю обертання.

Отже,

обертанням твердого тіла навколо нерухомої осі називається такий його рух, при якому хоча б дві точки тіла є нерухомими.

В

Рис. 99

ісь обертання в подальшому будемо позначати буквою Точки тіла, які не належать осі обертання (наприклад, точка і (рис. 99), очевидно, рухатимуться по колах, площини яких перпендикулярні до осі обертання, а центри їх знаходяться на осі обертання. Радіуси цих кіл і визначають відстані відповідних точок до осі обертання.

§ 43.1 Рівняння обертання тіла навколо нерухомої осі

Розглянемо тверде тіло, яке обертається навколо нерухомої осі (рис. 100). Для визначення положення тіла через вісь обертання проведемо дві півплощини: нерухому і рухому , яка жорстко з’єднана з тілом, тобто положення і рух її в

Рис. 100

изначаються положенням і рухом тіла і навпаки. Ліній-ний кут двогранного кута між півплощинами і позначимо . Заданням цього кута цілком визнача-ється положення рухомої півплощини , а разом з тим і положення тіла. Кут  називається кутом повороту тіла. Під час обертання тіла кут повороту змінюється з часом, тобто є деякою функцією часу

(2.34)

Записане рівняння називається рівнянням (законом) обертання твердого тіла навколо нерухомої осі, бо, знаючи це рівняння, можна визначати положення тіла в будь-який момент часу.

Кут повороту вимірюється в радіанах і вважається додатним, якщо він відкладається проти ходу годинникової стрілки, коли дивитися з кінця осі обертання.

Перша похідна за часом від кута повороту називається алгебраїчною кутовою швидкістю.

Вона позначається буквою (омега)

(2.35)

Перша похідна за часом від алгебраїчної кутової швид-кості називається алгебраїчним кутовим пришвидшенням.

Кутове пришвидшення позначається буквою (епсилон).

(2.36)

Модулі алгебраїчної кутової швидкості і кутового пришвидшення позначаються , і будемо називати їх просто кутовою швидкістю і кутовим пришвид-шенням. На рисунках алгебраїчну кутову швидкість і кутове пришвидшення показують дуговими стрілками, додатний напрям яких вибирають проти ходу годинникової стрілки, якщо дивитись з кінця осі обертання.

Кут повороту , кутова швидкість і кутове пришвид-шення є кінематичними характеристиками обертання твердого тіла навколо нерухомої осі.

З’ясуємо одиниці вимірювання цих величин. В теоретичній механіці, як і у фізиці та в більшості інших дисциплін, кут повороту найчастіше вимірюється в радіанах (рад), тобто:

Тоді згідно з формулою (2.35) кутова швидкість буде вимірюватись в рад/с, тобто:

а кутове пришвидшення

У техніці кут повороту тіла визначають в обертах. Кількість обертів найчастіше позначають буквою . Оскільки за один оберт тіло повертається на радіан, то за обертів воно повертається на кут

рад. (2.37)

Кутову швидкість у техніці часто характеризують числом обертів за хвилину (об/хв) і позначають буквою . В паспортах кожного двигуна внутрішнього згоряння, електродвигуна вказане експлуатаційне число обертів за хвилину. Зв’язок між і визначається формулою

тобто

(2.38)

Залежність (2.38) – це формула переходу від кутової швидкості в обертах за хвилину до кутової швидкості в радіанах за секунду. Цю формулу бажано запам’ятати, бо вона часто застосовується в реальних розрахунках і не треба її плутати з формулою

, (2.39)

де – частота обертання тіла, тобто кількість обертів тіла за одну секунду, яка також часто зустрічається в технічній літературі.