§ 16 Пара сил і її момент

Система двох рівних за величиною протилежно напря-млених сил ( ), лінії дії яких не співпадають, називається парою сил (рис. 29).

Рис. 29

Рис. 30

Основними характеристиками пари сил є:

1. Площина дії пари сил – це площина, в якій знаходиться пара сил. На рис. 29, на якому зображено пару сил , – це площина дії заданої пари сил. Вона єдина, оскільки через дві паралельні лінії можна провести тільки одну площину.

2. Плече пари сил – це найкоротша відстань між лініями дії сил пари. На рис. 29 воно позначено літерою .

3. Момент пари сил.

Для введення поняття моменту пари сил розглянемо пару сил , сили якої прикладені в точках і (рис. 30). Виберемо довільну точку і проведемо відповідні радіуси-вектори . За формулою (1.26) визначимо головний вектор пари сил

.

Отже, головний вектор пари сил дорівнює нулеві.

За формулою (1.27) визначимо головний момент пари сил відносно довільної точки

.

Оскільки , отримаємо

,

тобто:

.

Головний момент пари сил не залежить від положення точки, відносно якої він визначається, а залежить тільки від параметрів самої пари сил і називається моментом пари сил.

Отже,

момент пари сил дорівнює векторному моменту однієї сили пари відносно точки прикладання іншої сили даної пари, тобто

. (1.34)

З отриманого випливає:

1. Момент пари сил – це вектор, бо вектором є момент сили відносно точки.

2. Вектор моменту пари сил перпендикулярний до площини дії пари, оскільки вектор перпендикулярний до площини, яка проходить через точку і вектор сили , а це є площина дії пари сил.

3. Якщо побудувати вектор (рис. 31, а), а це згідно з формулою (1.34) буде вектор моменту пари сил, то ми отримаємо, що момент пари сил як вектор напрямлений в бік, звідки спостерігач бачить намагання пари сил повернути тіло проти руху годинникової стрілки.

Рис. 31

Визначимо величину вектора моменту пари сил. За формулою (1.34) маємо

.

Оскільки (див. рис. 31, б)

,

отримуємо

. (а)

Отже,

момент пари сил чисельно дорівнює добутку модуля однієї сили пари на її плече.

Якщо пари сил розміщені в одній площині, то величини їх моментів знаходяться за формулою (a), а вектори цих моментів будуть колінеарними. В цьому випадку доцільніше користуватися не векторним поняттям моменту пари сил, а алгебраїчним.

Алгебраїчний момент пари сил дорівнює добутку, взятому з відповідним знаком, модуля однієї сили пари на її плече, тобто

. (1.35)

Той чи інший знак у цій формулі визначається за таким правилом: якщо спостерігач бачить намагання пари сил повернути тіло проти годинникової стрілки, береться знак “+”, в противному разі – знак “–“.

Алгебраїчні моменти пари сил на рисунках показують дуговими стрілками (рис. 32).

Рис. 32

Зазначимо, що одиницею виміру моменту пари сил, як і моменту сили, є Нм.

§ 17 Еквівалентність пар сил

Тут будуть тільки сформульовані (без відповідних доведень) теореми, які нададуть нам можливість виконувати певні дії над парами сил. З доведенням даних теорем можна ознайомитись в додатку 4.

Теорема 1.

Дія пари сил на тверде тіло не зміниться, якщо пару сил в площині її дії перемістити в будь-яке положення (рис. 33).

Рис. 33

Теорема 2.

Дія пари сил на тверде тіло не зміниться, якщо пару сил перемістити в площину, яка паралельна площині дії пари сил (рис. 34).

Теорема 3.

Дія пари сил на тверде тіло не зміниться, якщо змі-нити сили пари і плече пари, залишивши без змін момент пари.

Для пар сил, показаних на рис. 35, і . З рівності випливає, що для еквівалентних пар сили обернено пропорційні їх плечам.

Сформульовані три теореми можна об’єднати в одну:

пари сил, моменти яких геометрично рівні, є еквівалентними

. (1.36)

Рівність (1.36) є необхідною і достатньою умовою еквівалентності двох пар сил з моментами і .

Рис. 34

Рис. 35

На основі сформульованих теорем бачимо, що над парою сил, як елементом статики, можна виконувати такі дії:

1. пару сил можна переносити в площині її дії, включаючи і її поворот на будь-який кут;

2. пару сил можна переносити в будь-яку площину, яка паралельна площині дії заданої пари сил;

3. можна змінювати силу пари і її плече, не змінюючи моменту пари.

Виходячи зі сказаного та математичної класифікації векторів (вільний, невільний, ковзний), вектор моменту пари сил належить до вільного вектора.