2.2. Вычисление электрического и магнитного полей

может быть интерпретирована как обобщение уравнений Макс-

велла – Лоренца. Возникает вопрос о наиболее удобном способе

расчёта

и .

Уравнения (26)–(29) получены с помощью дифференцирова-

того, при

ния. В результате эти уравнения могут иметь более широкий

класс решений

и , чем исходная система (20)–(23). Кроме

формул

рассмотрении задачи в форме (20)–(23) требуется ре-

(23) относительно скалярной

шить лишь два уравнения (22),

функции

и векторной функции , по которым затем с помощью

(20), (21) вычисляются две векторные функции

и .

Поэтому система (20)–(23) является более

предпочтительной для

Векторы

и могут быть измерены, поэтому представляет

интерес

обратная задача о нахождении

и

по заданным

и .

из

Решить такую задачу можно, например, определив вектор

ным

≡

Выше уже обсуждалась возможность введения векторного

потенциала

. Вектор

действительно является вектор-

потенциалом, так как, согласно (20),

= × .

Компоненты вектора

при использовании механических

единиц измерения

имеют размерность плотности энергии.

направление

движения

плотности

Направление

указывает

( )

, ( )

энергии. В [50]

для решения системы (1)–(3) доказано сохране-

ние

на траектории движения точки эфира

, что

(25), имеет

(| |/ ) | |

является аналогом закона сохранения энергии.

Вектор

в электромагнитных единицах, согласно

размерность напряжённости электрического поля и

описывает силовое воздействие эфира. Величина

для

собой электри-

при отсутствии магнитного поля представляет −| |

| | =

ческий

потенциал.

С помощью формулы (21) вектор

выражается через век-

торный потенциал и плотность эфира

= 2 ( ∙ ) = 2

2

2 −

× ( × ) .

Ещё одно представление

обсуждено на с. 63.

Максвелла – Лоренца можно также

Обобщённые уравнения

записать в различной форме относительно функций

,

,

, .

Реальное существование векторного потенциала

или тече-

(

ния эфира) подтверждено прямыми экспериментами [88–90].

≡

(20), фактически использующее векторный

Определение

потенциал

, позволяет обосновать непотенциальность

70

что

не

в неограниченном пространстве, то есть то,

магнитного поля

жем от

0

где

представимо в виде градиента некоторой скалярной

при

. Тогда

. Возьмём =

функции

, обращающейся в ноль на бесконечности. Дока-

0, → 0

→

∞

× =

,

противного. Допустим, что

представимо в виде

дивер-

генцию от этого равенства. Получим уравнение Лапласа

.

→ 0

→ ∞

≡ 0

Данное уравнение в неограниченном пространстве с

условием

∆ = 0

при

имеет только нулевое решение

(напри-

Получим из уравнений Фарадея (26) и Ампера (29)

× = −

+ ,0 × ,

(35)

×

=

+ 4

(36)

( ∙ )

− 2

= −

+

,0

× ( × ),

(37)

∙

| |2

−

2

| |2

=

×

+ 4 × .

(38)

Возьмём частную производную по времени от уравнения

(36) и разделим его на

2

2

2

=

×

2

−

2

.

(39)

( ∙ )

4

Умножим формулу (37) на минус единицу, перенесём в ней

член

, равный

(28), в правую часть и вычтем из по-

лучившегося выражения уравнение (39). Получим

2 − 2

2

= 4 +

2

+

(40)

72

1

| |2

1

× ( × ).

× 1 −

2

− ,0

лим на

×

Подставим в него пред-

Рассмотрим теперь уравнение (38).

ставление

из (35), прибавим

2

к обеим частям и разде-

| |

2

−

2

2

=

1

2

2

2

2 | |

+ ∙ 2

−

2

−

,0

×

−

4

× .

Упростим выражение

, используя ∙ = 0 (27),

∙

| |

| |

| |

2

=

2

| |∙2

+

2

∙

=

Тогда

∙

2

.

2

−

2

2

=

2

2

(41)

−4 × + 2 1 −

| 2|

+ ∙

| 2|

1

−

,0

×

.

[33, с.

| |/ ≈ 1 = 0

они переходят в известные уравнения

При

,

17–22]

2 − 2

2

= 4 +

2

,

2 −

2

2

= −

× .

В предельном случае

формулы (40), (41) не содер-

жат оператор Лапласа

| |/ 1

2

= −4

,

2

= 4 × +

,0

×

.

Здесь при

В

/

упрощении уравнения (40) использовалось представ-

переходят в

из (35).

| |/ 1

ление для

другом предельном случае

уравнения (40), (41)

1

2 − 2

2

= 4 +

2

−

| |2

1

× ( × ),

×

2

− ,0

4

2

− 2

2

=

1

| |2

−

× + × ×

2

− ,0

× .