11. Внешняя сила, действующая со стороны среды на завихренное течение эфира. Обобщение силы Жуковского для случая трёхмерного частично или полностью проницаемого объекта
11.1. Обобщение силы Жуковского |
|
|
|
× |
|
|
быстро убывает, и, кроме того, на × ( ) = 0 |
|
|||
Обозначим объём, занимаемый вихрем, |
|
. Пусть вне |
те- |
||
( ) |
|
|
|
или |
|
чение эфира является безвихревым |
|
||||
бесконечности скорость эфира и внешние силы стремятся к нулю так, что соответствую-
щие несобственные интегралы сходятся. |
|
|
|
|
|||||
Согласно определению (122), вихревой импульс эфира есть |
|||||||||
|
|
( ) = 1 |
× × ( ) . |
|
(127) |
||||
, |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
= |
Вычислим силу, действующую на завихренное течение в |
|||||||||
( , ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
объёме |
|
при сообщении в точках |
|
внешней скорости |
|
||||
|
заданной относительно (дополнительной к |
|
), предпо- |
||||||
лагая, что эта скорость приводит к смещению частиц среды (ла-
гранжевых частиц). Вне |
|
и на бесконечности потребуем от |
||||||||||
выполнения условия |
|
и поведения, обеспечивающего схо- |
||||||||||
димость |
соответствующих несобственных интегралов. |
|||||||||||
|
|
|
|
= 0 |
|
|
|
|
|
|||
|
В такой постановке задачи для получения закона изменения |
|||||||||||
|
следует рассматривать приращение |
|
, возникающее за ма- |
|||||||||
лое время |
|
при наличии заданной скорости . Использование |
||||||||||
( ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( ) |
|
|
|
|
(127) с заменой |
|
на |
|
и последующим дифферен- |
|||||
формулы |
|
∆ |
|
|
интеграла, |
|
|
|
||||
цированием по времени |
|
|
+ |
|
|
|
||||||
было бы недостаточным, так как не учло бы эффекта смещения частиц среды в результате приложения скорости .
177
тарного объёма ∆ |
|
|
|
+ ∆ |
для вихревого импульса |
||||||||||
В момент времени |
|
|
|
||||||||||||
∆( + ∆) |
= |
|
имеем |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
( + ∆) × ( × ( )= +∆)∆. |
|||||||||||||
Применим |
формулу Тейлора |
|
|
|
|
||||||||||
|
2 |
1 |
|
|
|
|
|
2 |
) × |
||||||
|
∆( + ∆) |
+ |
∆ + (∆ |
||||||||||||
|
= 2 |
|
|
||||||||||||
1 |
× |
+ |
|
∆ + (∆2) ∆ = |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
× × |
|
|
|||||
2 |
× × ( )∆ + |
2 |
|
∆ ∆ + |
|||||||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
). |
|||||
|
2 |
× × ( )∆ ∆ + (∆ |
|
||||||||||||
∆элемен-
(128)
По постановке задачи рассматривается смещение в резуль-
тате сообщения лагранжевой частице скорости |
|
относительно |
||||||||||||
имеющейся скорости |
|
|
|
|
|
|
|
Кроме того, по |
||||||
|
(дополнительной к ). |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
силы за время |
|
учитывается смещение |
|||||||||
смыслу вычисляемой |
|
|
|
|
|
|
|
|
, то есть сме- |
|||||
только за счёт мгновенного |
приложения скорости |
|
||||||||||||
|
|
∆ |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
В |
|
( )/ |
= |
|
|
|
|
Поэтому в формуле |
||||||
щение относительно текущего положения. |
|
|
|
|
|
|
||||||||
(128) имеем |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
уравнении движения эфира (23) (втором законе Ньютона) |
|||||||||||||
сывается конвективной |
|
|
за счёт внешней скорости |
|
опи- |
|||||||||
дополнительное ускорение |
|
|
||||||||||||
производной, интерпретация которой и состоит в ускорении, вызванном движением среды со скоростью (см., например: [9, с. 54]) (то есть рассматривается ускорение относительно текущего состояния за счёт мгновенного приложе-
ния скорости )
178
|
|
|
|
|
+ ( ∙ )( ) = + . |
|||||||||
Тогда, с учётом |
× ( ) = 0 |
: |
= |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
∆ |
|
|
|||
× × − ( ∙ )( ) ∆ + |
||||||||||||||
2 |
1 |
× × ( )∆ + (∆). |
||||||||||||
изменение |
|
2 |
∆ → 0 |
|
|
|
|
|
|
|||||
Устремляя |
|
|
|
|
|
, суммируя по всему объёму и обозначив |
||||||||
|
вихревого импульса во времени за счёт сообщения |
|||||||||||||
внешней скорости |
точкам объёма символом |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
≡ |
∆ , |
||||||
получаем |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
= |
1 |
× ( × ) − |
|||||||||
1 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
)( ) + |
|||||
|
|
|
× × ( ∙ |
|||||||||||
2 |
|
|
|
× × ( ) . |
||||||||||
|
|
|
1 |
|||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Применим в первых= двух=членах( ∙ )(правой) части векторное тождество (121) при и
179
|
|
= |
− 2 |
× ( × ) − |
|||||
|
( ∙ )( ) |
+ 1 |
|
× ( ∙ )( ) |
× |
||||
|
|
+ 1 |
|
2 |
|
× ( ) . |
|
||
|
|
|
|
× |
|
||||
|
|
|
2 |
|
( |
∙ )( ) последним тождеством из |
|||
таблицы 5.5-1 в [51] |
|
|
|||||||
|
Воспользуемся для |
|
|
|
|
|
|||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
∙ ( ) |
× ( × ) + ( ∙ ) − ∙ ( ∙ ) + ∙ |
|||||||||
2 |
|
|
− |
× |
( |
× ) |
− × × ( ) . |
|
|
Объёмный интеграл от первого и второго членов в правой части данного выражения сводится к поверхностному по теореме о роторе и теореме о градиенте соответственно. Объёмные интегралы от третьего и четвёртого членов преобразуются к поверхностным интегралам с помощью теоремы о среднем и тео-
ремы о дивергенции (в средней точке выносятся функции |
|
и |
|
|||||||
по аналогии с выкладками в (124)). |
|
|||||||||
При стремлении объёма |
|
к объёму всего пространства все |
||||||||
Поэтому в пределе |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
поверхностные интегралы |
обращаются в ноль, так как по пред- |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||
положению функции , |
, |
|
быстро убывают на бесконечности. |
|||||||
|
|
= |
получаем |
|
× × ( ) + |
|
|
|
||
+ |
(129) |
|||||||||
|
|
∞ |
|
|
|
180 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 × ( × ) .
Интегрирование в третьем и четвёртомчленах оставлено по области
ненулевой завихренности , так как по условию вне этой области |
|||
(129) |
|
× = 0 |
|
подынтегральные выражения равны нулю или быстро убывают. |
|||
В случае |
|
, рассмотренном в [17, п. 3.7], формула |
|
|
переходит в формулу (14) из [17, с. 77]. |
||
Как показано выше, количество движения эфира в пределе по всему пространству равно вихревому импульсу. С другой сто-
роны, согласно второму закону Ньютона, изменение количества |
|||||||||||||
чение эфира в объёме |
|
при |
|
( ) |
|
|
|
|
|
||||
движения равно приложенной силе. Поэтому правая часть фор- |
|||||||||||||
скорости : |
|
|
|
собой силу |
|
|
|
|
|
|
|||
мулы (129) представляет |
|
, действующую на те- |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
сообщении в точках |
|
внешней |
||||
|
( ) = ∞ |
|
+ |
× × ( ) + |
(130) |
||||||||
|
|
|
1 |
|
× |
( × ) , |
|
|
|
|
|
||
ние силы |
( ) |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где |
– непотенциальная внешняя сила. |
|
|
|
|
|
|||||||
|
Силу |
|
в формуле (130) можно трактовать как обобще- |
||||||||||
|
|
Жуковского на случай трёхмерного объекта, вне и |
|||||||||||
внутри которого имеется плотность потока среды |
|
|
. Пример |
||||||||||
использования этой силы в электротехнике |
приведён в п. 18.11. |
||||||||||||
|
|
|
|||||||||||
Физический механизм воздействия обобщение силы Жуковского рассмотрен в п. 14.3.
Выражение (130) позволяет определить обобщённую силу Жуковского в элементе объёма
181
= |
+ × |
× ( ) + 2 |
× ( × ) |
(131) |
||||||||||||||||||||
Вихревой импульс и закон его |
|
|
|
к |
|
. |
|
|
||||||||||||||||
и её объёмную плотность как отношение |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
изменения в случае прило- |
|||||||
жения |
|
|
к одной изолированной нити |
|
(не обязательно совпа- |
|||||||||||||||||||
в ( ), ( ), ( )(122), |
(129), (130), рассмотренных для области, |
|||||||||||||||||||||||
дающей с вихревой нитью), заданной параметрически |
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
, получается с помощью предельного |
перехода |
|||||||||||||||||
[17, п. 3.8], |
|
|
( ) ≡ |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( ) |
|||||
интегралах |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
представляющей собой шнур с поперечным сечением |
|
|||||||||||||||||||||||
|
( ) |
( ) = |
2 |
|
Γ ( ) × , |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
= ∞ |
|
+ |
Γ ( ) × + |
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
Γ ( ) |
× , |
|
|
|
|
|
|
||||||||
Γ |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
× ( ) ∙ = |
|
|
|||||||||
|
( ) ≡ lim→0 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
| |→∞ |
|
( ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
(132) |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
( ) |
|
|
|
|
|
∙ , |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
lim→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
( ) |
|
( ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
Γ |
|
|
| |→∞ |
|
|
|
( × ) ∙ = |
|
|
||||||||||||||
|
|
( ) ≡ |
lim→0 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
( ) |
|
|
|
( ) |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
| × /2|→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
lim→0 |
|
|
∙ , |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
( ) |
|
( ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
| × /2|→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
182 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
ния |
2 ≡ |
× ( ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
шнура, |
|
/| | |
|
|
– элементарный отрезок кривой с |
|||||||||||||||||||||||||||
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
/| | |
|
( ) |
|
|
|
||||||
направлением |
|
|
|
|
|
|
– элемент площади поперечного сече- |
||||||||||||||||||||||||||
жённости) ( ) |
|
Γ ( ) |
|
|
Γ |
( ) |
|
|
, |
|
|
|
– контур |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
имеющий направление |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
границы |
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
и |
|
|
|
|
|
|
|
– циркуляции (напря- |
|||||||||||||
вии |
|
|
|
|
[15, с. 285]. |
|
|
|
Γ ( ) = 2 |
Γ |
( ) = |
||||||||||||||||||||||
( × ) |
бесконечно тонкого шнура. Пределы берутся при усло- |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
конечных |
циркуляций |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
Если нить (или шнур) совпадает с вихревой нитью (или вихре- |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
может быть |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Γ |
является константой |
|||||||||||||
вой трубкой) поля |
|
, то циркуляция |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
и |
|
|
|
|
|
|
вынесена из-под знака интеграла [15, с. 285; 19, с. 93] |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( ) = |
1 Γ |
|
|
× , |
|
|
|
|
|
|
(133) |
|||||||||||||
|
( ) = |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
Γ × . |
|
|
||||||||||
|
|
+ Γ |
|
|
× + |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
, |
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
= 0 |
× |
= 0 |
принимает ( ) |
в частном случае |
|
, |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
Последняя формула для |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
вид |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( ) = Γ |
|
× , |
|
|
|
|
|
|
(134) |
||||||||||||||
|
|
|
|
Γ ≡ |
|
|
( ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
≡ |
× , |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
lim→0 |
|
∙ , |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
| |→∞ |
( ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
( ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
что соответствует результату [19, п. 5.8]. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
Силу |
|
|
|
|
в формулах (132)–(134) можно рассматривать как |
||||||||||||||||||||||||||
обобщение силы Жуковского на случай приложения скорости |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
к крылу, имеющему форму кривой |
|
|
в направлении, перпенди- |
||||||||||||||||||||||||||||||
кулярном к плоскости профиля |
крыла. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
183 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||