2 − 2 2 = 4 + 2 −12 + 4 − 1,0 × ( × ),

−4 × + 1 2× −+ 42 2×= − 1,0 × .

Во втором уравнении выразим × из (35). Имеем

2 = 4 − ,0 × ( × ),

Таким образом, при | |/ 1 уравнения (40), (41) не содержат производных по времени.

2.5. *Изучение вопроса об инвариантности обобщённых и классических уравнений Максвелла при преобразовании Галилея

2.5.1.Инвариантность в математическом моделировании и физике

Обсудим роль инвариантных относительно системы координат понятий и количественных соотношений в методологии математического моделирования и методологии физики.

При построении адекватных математических моделей процессов важно исходить из того, что природа ничего не знает о

* Данный раздел требует углублённого знания фундаментальных математических понятий, дифференциального исчисления, векторного анализа и систем координат [51, гл. 3–6, 16]. При первом ознакомлении с книгой этот раздел может быть пропущен.

75

придуманных человеком системах координат и способах измерения времени. Понятия координат и времени вводятся для формализации описания наблюдаемых явлений в рамках имеющихся математических средств. Эти понятия являются одними из исходных при построении математической модели.

Философские вопросы, связанные с системами координат, пространством и временем, выходят за рамки данной книги. Их обсуждение можно найти в работах [102, 80, 103, 104].

С точки зрения практического применения записываемые с помощью математического аппарата количественные соотношения должны максимально отражать и раскрывать механизмы протекающих в природе процессов, а не выражать абстрактный формализм каких-то количественных постулатов. Успешно используемые на практике математические модели следуют именно такой цели.

Во многих практических задачах наибольший интерес представляет изучение характеристик объекта относительно его предыдущего положения в пространстве, а не относительно некоторой искусственно выбранной системы координат. Для абстрактного описания таких независимых от системы координат свойств используется математическое понятие «вектор».

Изначально математическое понятие вектора как направленного отрезка не связывается с какой-либо системой координат и является в этом смысле инвариантным [113, п. 28]. Такие векторы, как скорости и силы, обычно определяются впервые на геометрическом языке как «величины, обладающие длиной и направлением», или, другими словами, как величины, которые могут быть представлены в виде направленных отрезков, складывающихся по «правилу параллелограмма» [51, п. 5.1]. Система координат вводится для более детального описания количественных соотношений, в которых участвуют векторы. При этом сам вектор, как математическое понятие, является инвариантным относительно системы координат, но его проекции на координатные оси могут быть различными в различных системах координат.

76

Выбор исходной системы координат обычно связан с опытными данными. При этом, если какое-то свойство, например наличие движения (скорости) среды, наблюдается в исходной системе координат, то полноценная математическая модель среды, описывающая этот опыт, должна отражать наличие скорости при переходе к другим системам координат. Иными словами, в новой системе координат модель должна описывать тот же процесс, который происходит в исходной системе координат. Понятие вектора как направленного отрезка позволяет строить такие модели.

Замена переменных в системе уравнений с использованием взаимно однозначных достаточно гладких функций приводит к математически эквивалентной системе уравнений. Поэтому переход к таким новым переменным не добавляет никаких новых закономерностей (количественных связей) в соотношения и не меняет физического содержания процессов, описываемых исходной системой. Замена переменных обычно применяется с целью упрощения записи уравнений.

Геометрически замена переменных означает переход к новой системе координат, возможно, криволинейной и подвижной относительно исходных координат.

Отдельный интерес представляет замена переменных, не изменяющая вид уравнения как математической формулы. Свойство уравнения сохранять вид при некоторой замене переменных называется инвариантностью уравнения относительно этой замены, а сама замена называется инвариантным преобразованием уравнения.

Физическая интерпретация свойства инвариантности уравнения относительно некоторого преобразования состоит в том, что в новой системе координат, построенной по закону данного преобразования, в уравнении не возникает источников, стоков и сил (дополнительных членов), явно зависящих от параметров закона движения новой системы координат относительно исходной. Такая интерпретация инвариантности позволяет строить

77

упрощённую локальную модель в движущейся области, экстраполировать подтверждённую опытом модель на ещё не достижимые на практике условия или учитывать какие-то внешние по отношению к изучаемой системе факторы.

Рассмотрим типичный пример построения локальной модели на основе заданной исходной модели. Пусть в исходной системе координат дано уравнение, содержащее некоторые функции, в том числе вектор скорости. Предположим, что уравнение

связи с исходными координатами. Аналогично определим и другие функции, входящие в исходное уравнение, как функции только локальных координат. В общем случае вектор локальной скорости не равен вектору скорости в исходных координатах, так как он не учитывает движение новой системы координат относительно исходной. Поэтому введённые локальные функции могут не удовлетворять заданному уравнению, так как оно определено для исходных функций. Привлечём теперь интуитивные соображения. Поскольку вид уравнения во введённой системе координат не меняется (из-за его инвариантности), то предположим, что оно остаётся справедливым и для введённых локальных функций.

Построенная таким способом локальная модель, вообще говоря, не является математически эквивалентной исходной мо-

78

дели, так как при её выводе применяются неравносильные рассуждения, в том числе в уравнения исходной модели подставляются новые функции, не полученные инвариантной заменой из исходных функций. Поэтому адекватность данной локальной математической модели надо проверять заново. Для этого в методологии математического моделирования необходимо изучить соответствие следствий локальной модели всем хорошо установленным опытным фактам.

В общем случае построение локальной математической модели на основе свойства инвариантности уравнений исходной модели может содержать неравносильные рассуждения и неинвариантные преобразования, приводящие к нарушению инвариантности получающихся уравнений. Кроме того, не все уравнения исходной модели могут быть инвариантными, см., например, уравнения (6), (11). Поэтому формулировка математических моделей только в инвариантных относительно системы координат количественных соотношениях не обязательна, хотя и предпочтительна. Более важным является соответствие следствий модели явлениям, наблюдаемым в тех областях пространства, где модель должна использоваться на практике.

Инвариантность уравнений может иметь место относительно различных преобразований. В первую очередь важна инвариантность относительно простейших преобразований, подтверждённых общей практикой. Такое преобразование вводит принцип относительности Галилея – Ньютона. Этот принцип рассматривает простейшую замену переменных, называемую преобразованием Галилея, и утверждает, что все физические уравнения и законы должны быть инвариантными относительно этого преобразования (см., например: [14, с. 309; 26, п. 15]).

Предлагаемая в книге общая математическая модель природы подтверждает этот принцип, так как в ней все основные законы электродинамики и гравитации следуют из инвариантных относительно преобразования Галилея уравнений неразрывности и движения сплошной среды (эфира).

79

На основе гипотезы о первопричине всех явлений природы как движении эфира или распространения в нём возмущений можно предположить, что галилеева неинвариантность тех или иных законов (количественных соотношений) связана с неэквивалентными или неинвариантными преобразованиями уравнений неразрывности и движения эфира при переходе к упрощённому описанию тех или иных эффектов. В п.2.5.3, 2.5.4 показано, что такая ситуация имеет место для уравнений Максвелла.

В применении к изучаемой в книге модели эфира описанный

Отбрасывание в уравнении (11), вообще говоря, не является равносильным преобразованием и приводит к уравнению, не эквивалентному исходному. В результате полученная локаль-

уравнений системы в неизменном инвариантном виде.

ная модель (без в (11)) математически не эквивалентна исход-

ной и её

уравнениями (4)–(6) исходной модели с точностью до обозначений. Поэтому для уравнений локальной модели справедливы все математические следствия, полученные в книге для исходной модели. Эти следствия соответствуют всем достоверным результатам опытов в движущихся по Галилею изолированных объёмах. Таким образом, согласно методологии математического моделирования, можно заключить, что модель (4)–(6) применима локально в любом изолированном от внешнего воздействия объёме, движущемся по правилу преобразования Галилея.

Изучение вопроса об инвариантности уравнений обычно проводится во всём неограниченном пространстве. Однако и в экспериментах, и в математической модели важную роль играют

80

граничные условия, которые не всегда обладают свойством инвариантности. Поэтому корректность построения локальной модели в изолированной области, экстраполяция результатов экспериментов и их математической модели на всю В селенную, привлечение в модель внешних факторов могут вызывать вопросы и требуют специального исследования в каждом отдельном случае. См. обсуждение в приложениях 2 и 3.

В методологии физики, состоящей в обобщении экспериментальных фактов, вопрос обоснования инвариантности физических законов относительно того или иного преобразования является более сложным. В соответствии с этой методологией, законы в существенно изменившихся условиях должны проверяться в экспериментах заново, особенно когда эти законы планируется использовать в технических системах с высоким требованием к надёжности, а исследователи несут большую ответственность за принятые решения. Перепроверка различных физических законов происходила, например, при овладении сверхзвуковыми скоростями и при непосредственном изучении околоземного космического пространства.

C конца XIX века по настоящее время в научной литературе интенсивно обсуждается вопрос об инвариантности уравнений Максвелла относительно преобразования Галилея. Классические публикации Лармора, Лоренца, Пуанкаре [105–107] и других авторов по этой теме собраны, например, в книге [108].

Начиная с работы Лармора «Эфир и материя» [105] галилеева неинвариантность классических уравнений Максвелла обосновывается появлением дополнительного члена, возникающего при замене переменных Галилея из частной производной по времени, см. например: [108, с. 53]. Для компенсации этого члена и получения инвариантной формы классических уравнений Максвелла применяют преобразование Лоренца, которое ввёл Пуанкаре [107]. В этом преобразовании заменяют не только пространственные переменные, но и время [108, с. 70, 91; 29, п. 105; 14, с. 309–318; 114, гл. 6].

81

Преобразование Лоренца используется в построении теории относительности. Однако выяснилось, что принятие лоренцевой инвариантности в качестве постулата общей математической модели природы в специальной и общей теории относительности (см., например: [14, с. 312]) приводит к парадоксальным следствиям. Например, при достижении скорости света объект теряет геометрические размеры, в том числе фотон, движущийся со скоростью света, не должен иметь размера; масса, величины электрического и магнитного поля обращаются в бесконечность; время останавливается (парадокс часов), см. [29, п. 106, 111; 14, с. 317–319]. Поэтому преобразование Лоренца не изучается в предлагаемой в данной книге общей модели природы.

В [14, с. 306] показано, что, кроме преобразований Лоренца, существуют более общие классы преобразований, для которых также имеет место инвариантность классических уравнений Максвелла. Преобразование Лоренца выделяется из них соответствием его метрики постулату о постоянстве скорости света [14, с. 312]. Однако этот постулат до сих пор нельзя считать экспериментально обоснованным, см. приложение 3 на с. 711. Наличие множества инвариантных преобразований классических уравнений Максвелла означает возможность выбора отличной от лоренцевой инвариантности в качестве аксиомы и построение на её основе другой общей модели природы.

Однако с точки зрения математического моделирования наибольшую ценность представляет наименее сложная модель, следствия которой соответствуют всем хорошо установленным опытным фактам. Такому критерию отбора моделей удовлетворяет эфирная модель природы (4)–(6).

Ниже подробно рассмотрен вопрос об инвариантности обобщённых (22), (23), (26)–(29) и классических (33) уравнений Максвелла относительно преобразования Галилея с использованием представленной в п. 2.1 механической трактовки этих уравнений как математических следствий уравнений эфира (4)–(6).

82