маемом как направленный отрезок, и введение новой системы ко-
ординат может привести к изменению проекций вектора на оси координат, но не к изменению длины′ и направления вектора′ , ′( ,)см≡.,
например( , ′( ) ,+соотношение) = , ( между) и на с. 46:
(более подробно использование ин-
вариантных объектов в математическом моделировании и инвариантных операций с ними обсуждено в п. 2.5). Таким образом, с точки зрения математической процедуры замены переменных формула (15) является инвариантной относительно преобразования Галилея. Такое понимание инвариантности базируется на априорном задании величин в исходной системе координат и их инвариантности относительно замены переменных.
Физическую интерпретацию данного понимания инвариантности можно проиллюстрировать на примере. Наблюдатель, находящийся в подвижной системе координат, которая движется вместе со средой, может не ощущать её движение и вообще не замечать наличие среды. Но если он остановится и подвергнется воздействию среды, то должен будет заключить, что среда обладает каким-то кинетическим свойством, которое необходимо отражать в её математической модели, даже если в какой-то системе координат это свойство не проявляется.
2. Вывод уравнений Максвелла из уравнений эфира
Задача получения уравнений Максвелла из классических подходов механики сформулирована достаточно давно. Например, Н.Е. Жуковский обсуждал направления её решения ещё в
1918 году [59].
В данном разделе представлен вывод обобщённой системы уравнений Максвелла – Лоренца из уравнений механики эфира
(4)–(6), состоящей из уравнения неразрывности и второго закона
58
Ньютона. Рассмотрены некоторые свойства этой системы. Результаты статьи [45] обобщены на случай присутствия в модели силы и градиента давления.
Полученные теоретически обобщённые уравнения Максвелла – Лоренца справедливы как на макро-, так и на микроуровне, что подтверждает гипотезу, использованную Лоренцом для описания микроуровневых электромагнитных процессов
(см., например: [37, с. 338]).
В некоторых подходах уравнения Максвелла выводят с использованием уравнения колебаний (см., например: [60, с. 98], а также [61, 109, 110]). Здесь вывод основан на исходной системе уравнений эфира, которая описывает не только колебательные процессы. Поэтому представленный здесь результат является более общим.
2.1.Вывод обобщённых уравнений Максвелла – Лоренца из уравнений эфира и
вектора напряжённости электрического поля обусловлено возможностью их измерения в натурных экспериментах. Хотя тех-
ническая реализация измерений и их интерпретация – отдельная сложная задача (см., например: [88–90]).
Эфирные определения векторов и даны в работах [40, 46, 48, 50] как ротор и конвективная производная (производная
вдоль кривой [51, п. 5.5-3, 16.10-8]) от плотности потока эфира: |
|||||||||
|
|
|
≡ × |
, |
|
|
(20) |
||
1 |
1 |
≡ ( ∙ )( ) = |
|
( ∙ )( ) = |
|
|
(21) |
||
( ) |
2 |
|
|
× , |
|
||||
|
2 |
|
− × × ( ) = | | ( | |) − |
|
|||||
|
|
|
|
|
59 |
|
|
|
|
|
положительная константа |
определяет единицы измерения |
|||||
где. Если, как в системе СГС (с абсолютной гауссовой системой |
|||||||
должна |
|
|
|
|
|
|
|
для измерения электрических и магнитных величин), потребо- |
|||||||
вать, чтобы |
|
и имели одинаковые единицы измерения, то |
|
||||
|
|
иметь размерность скорости. По аналогии с общей физи- |
|||||
кой определённую так скорость |
назовём эфиродинамической |
||||||
постоянной. Сравнение теоретически |
полученных здесь уравне- |
||||||
ний Максвелла с установленными в единицах СГС эксперимен-
тально позволяет заключить, |
что константа должна быть вы- |
||
брана равной скорости света |
(скорости свободного |
распростра- |
|
нения возмущения в эфире). |
|
|
|
Напомним, что в классической физике скорость |
также вво- |
||
дится вместе с понятием магнитного поля и называется |
электро- |
||
динамической постоянной. Её значение измеряется экспериментально и оказывается равным скорости света в вакууме (см.,
например: [28, с. 213]). |
|
|
|
|
|||
числе |
|
|
|
|
|
|
|
Отметим ещё раз, что никаких ограничений на величину ско- |
|||||||
рости |
в уравнениях эфира (4)–(6) не накладывается. В том |
||||||
|
допускается возможность превышения скорости света. |
||||||
ной производной, |
описывает |
|
|
|
E |
||
Определения (20), (21) означают, что |
описывает вихревую |
||||||
среды со скоростью (см., например: [9, |
с. 54; 14, с. 40]). Эти |
||||||
компоненту плотности потока эфира |
|
, а , являясь конвектив- |
|||||
|
|
|
|
ускорение |
за счёт движения |
||
определения |
соответствуют представлениям Максвелла, кото- |
||||||
|
|
|
|
|
|
||
рый рассматривал магнетизм как вихревое движение, а ток как
поступательное движение (см., например: [39, с. 212]). |
|
|||||||||||
ние при |
и |
|
|
|
≡ −/ |
|
|
|
с использо- |
|||
Отметим, что в [41] предложено определение |
|
|||||||||||
жения. В = 0 |
|
= 0 |
|
|
|
|
|
|
Это определе- |
|||
ванием производной по времени: |
|
|
|
. |
|
|
|
|
||||
|
|
|
эквивалентно (21) в силу уравнения дви- |
|||||||||
данной книге для случая |
|
или |
|
|
|
|
применя- |
|||||
ется определение (21), которое |
означает сопоставление электри- |
|||||||||||
|
|
≠ 0 |
|
|
≠ 0 |
|
||||||
ческому полю силы, вызванной изменением плотности потока
60
|
за счёт движения среды со скоростью |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
, и позволяет получить |
|||||||||||||||
|
|
|
≠ 0 |
|
≠ |
0 |
|
|
|
|
|
|
≡ |
|||
уравнения Максвелла как следствие второго закона Ньютона (5). |
||||||||||||||||
− / |
|
|
≡ − / − ( ( ) |
)/(2 ) |
|
|
|
как |
|
|
||||||
Если при |
|
|
или |
|
|
ввести определение |
|
|
|
|
||||||
реходит в |
или |
|
|
|
≡ − / −. |
|
, то |
|
уравнения |
|||||||
|
|
|
|
( ( ) |
|
)/(2 ) |
|
|||||||||
Максвелла не получатся как следствия второго2 |
закона Ньютона, |
|||||||||||||||
введение |
|
+ × / + ( |
+ )/ ,0 = 0 |
|
|
2 |
|
|
|
пе- |
||||||
который, например, в случае |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Подчеркнём, |
|
что |
||||
|
|
различных обозначений может изменить форму пред- |
||||||||||||||
ставления исходных уравнений эфира и их трактовку, однако ма- |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
тематическая суть исходной задачи в терминах искомых функ- |
|||||||||||||||||||||
ций |
|
и |
сохраняется. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
альным |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
В геометрической интерпретации представление плотности |
||||||||||||||||||||
потока эфира |
|
в форме (20), (21) является некоторым специ- |
|||||||||||||||||||
|
|
2 |
|
. В общем случае |
|
, ∙ |
= 0 |
|
|
и |
|
( × ) ∙ |
|||||||||
( ) |
|
представлением её в виде двух векторов |
|
|
|
. Эти век- |
|||||||||||||||
|
= 0 |
|
|
|
∙ ≠ 0 |
|
|
|
|
если |
|
|
|
|
|
|
|||||
торы будут перпендикулярны, то есть |
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
единичные |
|
|
= ( ) + ( ) + 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
что выполнено, напри- |
||||||||||||
мер, для вектора |
|
|
|
|
|
, |
где |
|
|
|
, |
, |
|
– |
|||||||
|
|
|
|
базисные векторы декартовых координатах. |
|
|
|
||||||||||||||
|
Покажем, что введённые определениями (20), (21) векторы |
|
|||||||||||||||||||
и удовлетворяют уравнениям, которые можно интерпретиро- |
|||||||||||||||||||||
вать как обобщённые уравнения Максвелла. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
В [46, 48] предложены частные обобщения уравнений Макс- |
||||||||||||||||||||
велла. Получим по аналогии с [45] из уравнений эфира самые общие макроуровневые уравнения Максвелла. Для этой цели удобно записать систему (4)–(6) в эйлеровых переменных
|
+ ∙ |
( , ) ( , ) = ,0 , , ( , ), ( , ) , |
(22) |
1,0 |
|
+ ( ( , ) ∙ ) ( , ) ( , ) = |
(23) |
, , ( , ), ( , ) + , , ( , ), ( , ) . |
|
||
|
|
61 |
|
Переход от лагранжевых к эйлеровым переменным подробно описан в п. 2.5.2.
Согласно уравнению движения (23), введение по формуле (21) означает трактовку электрического поля как силового члена в левой части уравнения (23), равного производной плотности потока эфира вдоль траектории (кривой, направлению) или части полной производной по времени, содержащей дифференцирование по пространственным координатам [51, п. 5.5-3, 16.10-8].
Следует отметить, что соотношение между |
и , возникаю- |
||||||||||||||
щее в определении (21), является также следствием уравнения |
|||||||||||||||
движения (23). |
Действительно, из формул (21) и (23) имеем |
||||||||||||||
|
|
= − + |
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(24) |
|||
Подставив теперь (24) |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
в (23) и воспользовавшись,0 |
выражениями |
||||||||||||||
(21), (20), получаем |
× = | | ( | |). |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
(25) |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Таким образом, соотношение |
(25) представляет собой дру- |
||||||||||||||
во многих законах (см. также |
|
|
|
+ × / |
|
|
|
|
|||||||
гую форму записи закона сохранения количества движения |
|||||||||||||||
эфира (23). Поле силы Лоренца |
|
|
|
|
фигурирует далее |
||||||||||
ентами давления и плотности эфира). |
+ |
× / |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
формулу (94), устанавливающую с |
|||||||||
помощью уравнения состояния (15) связь |
|
|
|
|
с гради- |
||||||||||
Отметим, что формула (25) не зависит от вида правой части уравнения (23), то есть справедлива и на микро-, и на макроуровне. Эта формула позволяет классифицировать потоки эфира (см. п. 15). Кроме того, формулу (25), а также источники и силы в (4), (5) можно пытаться использовать для экспериментального подтверждения наличия эфира.
62
Левая часть (25) является полем, соответствующим силе Лоренца, а правая – представлением силового воздействия эфира
через его плотность и скорость. Поэтому уравнение (25) можно |
|||||||||||
Подчеркнём, что |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
трактовать как представление силы, возникающей при движении |
|||||||||||
эфира, с помощью векторов |
|
и . |
|
|
= −/ + |
||||||
|
|
, полученное с использованием |
|
||||||||
( + )/ ,0 |
|
|
равенство (24) даёт другое эфирное пред- |
||||||||
ставление для вектора электрического поля |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
уравнения движе- |
|||
ния. В случае потенциальной силы |
|
|
|
электрическое |
|||||||
поле представляется в виде суммы |
градиента скалярного по- |
||||||||||
= − |
≡ |
|
|||||||||
выражение = −( − )/ ,0 + ( / )/ ) |
|
||||||||||
тенциала и частной производной по времени от векторного по- |
|||||||||||
тенциала: |
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
. Это |
|
теоретически обосновывает вводимые в физике по- |
||||||||||
тенциалы для электрического поля. |
|
|
|
|
|
||||||
Уравнение (23) на решении обращается в тождество, которое |
|||||||||||
Применим к (23) оператор ×. С учётом |
× = 0 получим |
||||||||||
можно подвергнуть различным преобразованиям. |
|
|
|||||||||
|
|
|
+ × = ,0 |
× . |
|
|
|
(26) |
|||
По аналогии с классической физикой назовём это уравнение обобщённым уравнением Фарадея.
Взяв дивергенцию от (20), (21), находим
4 ≡ ∙ 1 |
|
(27) |
( ∙ )( ) |
(28) |
|
|
||
|
= ∙ | | ( | |) − ∙ × × ( ) , |
|
|
|
63 |
где имеет смысл плотности заряда, определяемой течением эфира. В физике формула (28) называется электростатической
теоремой Гаусса в дифференциальной форме [28, п. 7]. Здесь эта |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
формула получена как следствие определений электрического |
||||||||||||||
поля |
|
и плотности заряда |
|
в эфире. |
|
|
||||||||
кривой ( ∙ ). Получим |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Применим к уравнению (23) оператор производной вдоль |
||||||||||||||
|
|
|
× |
|
= |
|
+ 4 , |
|
(29) |
|||||
|
× × ( ∙ ) − ( ∙ ) − × ( × ) + |
|||||||||||||
× ∙ |
( × ) − ( ∙ ) − ( ∙ ) ∙ |
+ |
||||||||||||
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
+ |
|
|||
|
|
− |
,0 |
∙ − ( ∙ ) |
,0 |
, |
||||||||
≡ , ≡ |
( ∙ ) = | |2/2 − × ( × ) / , |
|||||||||||||
где |
имеет смысл плотности электрического тока. Назовём фор- |
|||||||||||||
мулу |
(29) обобщённым уравнением Ампера. |
|
||||||||||||
При выводе уравнения (29) использовались известные пра- |
||||||||||||||
вила действия с оператором (см., например, таблицу 5.5-1 в [51]) |
||||||||||||||
|
|
( ∙ ) + ( ∙ ) |
− ( ∙ |
) − × ( |
× ), |
|||||||||
× ( ( ∙ |
|
× = × |
∙ = |
|
||||||||||
) − ( ∙ ) ) − × ( |
× ) − × × ( × ) , |
|||||||||||||
выражение для двойного векторного произведения
× × ( × ) = ∙ ( × ) − ( ∙ ) ×
64
и аналог/ формулы (3) из [52], который получается≠ 0 подстановкой из уравнения (4) в уравнение (5) при ,
= ( ∙ ) − ( ∙ ) − + + .
,0 (30)
Более подробно вывод формулы (29) описан в приложении 1
на с. 704.
Взяв дивергенцию от уравнения (29), получаем соотношение
между плотностью заряда и плотностью электрического тока |
||||||||||||||
|
|
|
|
+ ∙ = 0, |
|
|
|
|
|
|
(31) |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
которому можно придать |
вид закона сохранения заряда (см. за- |
|||||||||||||
находим другое эфирное представление для |
|
|
/ |
|
||||||||||
мечание в конце п. 3). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Дифференцируя (24) по времени и подставляя |
|
|
|
в (29), |
||||||||||
ческого тока |
|
|
|
|
плотности электри- |
|||||||||
|
|
2 − |
,0 |
|
|
|
. |
(32) |
||||||
= |
|
× | |2 × ( ) + |
|
|
|
|
||||||||
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( ∙ ) |
|
можно интерпретировать как некоторое |
|
|
× |
и |
||||||||||
Выше отмечено, что применение операторов |
|
|
|
|
||||||||||
специальное разложение вектора в левой части уравнения (23) на два вектора, приводящее к формулам (26) и (29). Если в результате такого разложения полу-
чаются линейно независимые векторы, то каждое из уравнений |
||||||||||
уравнений Максвелла≈ |
× = 0 |
|
|
|
и . |
|||||
(26) и (29) даёт существенную информацию о поведении |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
определяе- |
||
В случае |
|
, |
|
и экспериментально |
|
|
|
|||
мых |
и |
|
уравнения (26)–(29) переходят в классическую систему |
|||||||
|
|
| | |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
65 |
|
|
|
|
× = − |
|
, |
× = |
|
|
+ |
|
, |
(33) |
||||
введение векторов |
|
|
и |
|
является искусствен- |
||||||||
Согласно [56], ∙ = 0, |
∙ = 4 . |
|
|
|
|
|
|||||||
ным приёмом и не обязательно. Все |
эффекты среды входят в и |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
п.( |
см. уравнения (2.1.1) и обсуждение на с. 24–26 в [56], а также |
|||
1.1 в [57] или [58]). |
|
|
|
|
|
Уравнение (25), умноженное на плотность заряда, переходит |
|||
в плотность силы Лоренца |
|
|
|
|
|
= |
+ |
|
× . |
Вывод этой формулы из второго закона Ньютона представлен в п. 16.1.
Таким образом, систему (20)–(23), (25), или (22), (23), (25)–
(28), или (22), (23), (26)–(29), где искомыми являются функции
, , , , можно интерпретировать как систему обобщённых уравнений Максвелла, а вместе с формулой для – как систему обобщённых уравнений Максвелла – Лоренца.
Важно отметить, что исходные уравнения эфира (22), (23) инвариантны относительно преобразования Галилея (см. п. 1.3). Причинами потери такой инвариантности в уравнениях Максвелла являются неинвариантное преобразование уравнения движения эфира, использование достаточно сложных дифференциальных операторов, трактовка полей и плотности электрического тока в отсутствие какой| -|либо≈ среды, линеаризация нелинейных уравнений эфира при . Вопрос об инвариантности обобщённых и классических уравнений Максвелла подробно рассмотрен в п. 2.5.
Условия (27), (28), сужающие в уравнениях Максвелла класс допустимых решений, можно трактовать как некоторую компенсацию расширения множества решений, возникающего при применении дифференциальных операторов к уравнению движения эфира.
66
трактовке |
|
/ |
|
В физике до сих пор дискутируется вопрос о наличии или |
|||
отсутствии члена |
|
в уравнениях Максвелла. В эфирной |
|
|
электромагнитного поля данный вопрос имеет про- |
||
стой ответ.
Вывод уравнения (29), как и в теории Максвелла, является |
||||||||||||||||
Такие формальные операции являются |
|
/ |
|
× (| | / ) |
||||||||||||
несколько искусственным. При получении формулы (29) прово- |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
векторов |
|
и |
|
|
|
. |
||
дилось выделение в явном виде |
|
|
справедливыми, но2могут |
|||||||||||||
не являются |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
затруднять |
|
физическую |
|
интерпретацию некоторых |
явлений. |
|||||||||||
(29) можно представить через , |
, например, с |
|
/ |
|
||||||||||||
Каждый из векторов |
|
и |
|
выражается через и |
|
. Поэтому |
и |
|
||||||||
тока , |
|
|
независимыми величинами. Производную |
|
|
в |
||||||||||
|
/ = (( |
∙ )( ))/ |
|
|
|
помощью фор- |
||||||||||
мулы (21) |
|
|
|
|
|
|
|
и включить в плотность |
||||||||
|
которая и без этого имеет сложную структуру и может |
|||||||||||||||
быть отлична от нуля не только из -за движении заряженных ча- |
||||||||||||||||
стиц. В результате уравнение (29) записывается в другой эквивалентной форме
× |
|
= 4 total, |
total ≡ + 4 |
|
. |
(34) |
|||
Полная плотность тока |
|
|
состоит из суммы плотности |
||||||
электрического тока, |
связанного с плотностью заряда уравне- |
||||||||
|
total |
|
|
|
|
||||
нием (31), и плотности тока, вызванного изменяющимся во времени электрическим полем| | ≈.
Формула (34) при обычно применяется на практике в
электротехнике, когда детали природы возникновения тока не имеют большого значения. /
Кроме того, вопрос о в принципе не возникает, если вместо уравнения (29)
использовать поле силы Лоренца (25),/ имеющее более ясный физический смысл. В этом случае
не входит в систему уравнений для и (см. также п. 2.2).
67
|
Выражения для |
и |
через скорость и плотность эфира поз- |
|||||||||||||
воляют рассчитывать |
|
и |
теоретически. С помощью специально |
|||||||||||||
возбуждаемых движений эфира можно получить плотность |
|
|
и |
|||||||||||||
скорость |
в вакууме, соответствующие электрическому |
току и |
||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||
плотности |
заряда. Причём присутствие самих носителей заряда |
|||||||||||||||
и тока, например элементарных частиц, не обязательно. |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
В систему обобщённых уравнений Максвелла могут быть |
|||||||||||||||
добавлены дополнительные условия и члены в функции |
|
, |
|
, |
, |
|||||||||||
|
, описывающие взаимодействие потоков эфира с |
разрывами |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
или макроскопическими объектами. |
|
= 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
(22), (23) уд |
|
|
|
= 0 = 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
Приведём простейший пример решения обобщённых урав- |
|||||||||||||||
нений Максвелла. При |
|
, |
, |
= |
, где – |
|
|
|
= |
|||||||
|
|
уравнениям эфира |
||||||||||||||
cos ( − / ) + sin ( − / ) + |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
овлетворяют плотность |
|
|
и скорость |
|
|
|
|||||||
ампли-
туда поперечной скорости. Согласно формулам (20), (21), данным скорости и плотности эфира соответствует плоская монохроматическая циркулярно поляризованная электромагнитная волна. Известно, что такая волна удовлетворяет и классическим уравнениям Максвелла (33). Более подробно волновые процессы в эфире рассмотрены в п. 4.
Достоинством эфирного представления электромагнитных волн является присутствие в явном виде компоненты скорости в направлении распространения волны помимо поперечной колебательной компоненты (см. также формулы (80), (238)). Поэтому эфирное представление электромагнитной волны позволяет объяснить наблюдаемый в экспериментах корпускулярно-волновой дуализм как течение эфира с ненулевой компонентой вдоль направления движения. В векторах и компоненты в направлении распространения волны отсутствуют, что вызывает труд-
ности интерпретации экспериментальных сведений о движении |
|||||
|
|
и |
|
несут неполную информацию о плот- |
|
волн. В общем случае |
. |
|
|||
ности потока эфира |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
68 |