Для не зависящего от времени

при приложении к веществу

внешнего поля vac аналогично получаем

≡

8 .

vac

(214)

Рассмотрим замкнутый контур , в котором течёт ток .

формуле (147), на элемент контура действует сила2

. Согласно

Пусть этот контур находится в

магнитном поле

1

1 = 1

×

2

.

ствием силы 1 равна

элемента

контура

под дей-

Работа при смещении на

∆12 ≡ 1 ∙

= 1 ×

2

∙ .

смещении

= | |

2

2

рем перпендикулярно и вектору , и вектору :

Обозначим

элемент поверхности,

возникающей

при

элемента контура. Направление вектора выбе-

Тогда

∆12 = 1

2

∙

.

Пусть смещение элементов контура происходит так, что кон-

тур

сти

. Интегрируя по этой поверхности

, получаем энергию,

ной поверхностью

, током

1

в нём и произволь-

связанную с исходным контуром

12

=

1

2

∙ .

Для постоянного тока

1

имеем

12

=

1

2

∙ ,

ограничена контуром .

ную

По построению поверхность

поток через

Поэтому интеграл представляет

магнитный

контур (точнее, через

произвольную поверхность

, ограничен-

собой

контуром

)

Φ2 =

2 ∙ .

290

Тогда

12 =

1

Φ2.

(215)

некоторой общей,12

12

поверхности

Поток

не зависит от выбора

(см. п. 8). По-

этому и

энергия

не зависит от . Таким образом,

является

Φ2

В

1

2

характеристи-

не зависящей от поверхности

кой контура

с током

в магнитном поле .

электротехнике формула (215) называется магнитной

тураВычислим.

теперь плотность энергии 12 элемента кон-

энергией контура (см., например: [28, п. 69]).

сечением

. Согласно

действует∆

замкнутого контура

с поперечным

Рассмотрим элемент

сила

главному члену в формуле (145), на него

1 = ∆ 1,total ×

2

.

1

элемент контура

Пусть под действием данной силы

смещается на . При этом совершается работа

∆12

≡

1

∙

= ∆ 1,total ×

2

∙ .

Определим

приращение

плотности магнитной

энергии в

цепи с током по формуле

= 1,total ×

∙ .

12

≡

12

2

Удобство введения

∆

состоит в том, что эта величина не за-

висит от площади

12

∆

Из (34) при | |

≈

и длины

элемента контура.

сечения

291

Поэтому

1,total = 4 × 1.

(216)

12

=

4

( (

× 1)

× 2) ∙ .

Вычислим

2

проницаемость

= 1

плотность энергии цепи в магнитном поле, созда-

ваемом ей самой

,

где

– относительная магнитная

среды, в которой находится проводник:

1/| 1|

11

=

( (

× 1)

× 1) ∙ .

(216) следует,

что

.

поля

Из

формулы

4

≡ 1,total/ 1,total

направ-

Рассмотрим правую

малого элемента проводника перпендикулярно

≡

лению протекающего в нём тока

=

× ,

,

(см. рис. 5).

ортогональную декартову систему ко-

ординат с единичными базисными векторами

В этой системе

( × 1) × 1 =

1

−

1

× 1 .

Для постоянного вдоль проводника поля 1 = 1( , , )

(

× 1) × 1 = −1

1

× = −2

1

.

Тогда

11 = −

8

1

∙ .

В данной системе

можно представить в виде

= − + +

.

означает,

что при

координат произвольное смещение

Отсюда

Минус

положительном

смещение происходит про-

тив направления оси

(рис. 5).

11

=

8

1

.

Видно, что вклад в

плотность энергии даёт только перемещение

элементарного участка цепи по оси

, то есть в направлении, пер-

пендикулярном и плотности тока, и магнитному полю.

293

Проинтегрируем по смещению на отрезке

. Получим

её элемента из точки ′ в точку ′′

цепи при смещении

приращение плотности магнитной энергии в

[′, ′′]

11( , ′′, ) − 11( , ′, ) =

12( , ′′, ) − 12( , ′, ) .

ника, поле 1

и плотность

′

до

11

В случае, когда в точке

8,

смещения элемента провод-

энергии

отсутствовали, имеем

11( , ′′, ) =

8

12( , ′′, ).

(217)

Здесь

11( , ′′, )

представляет собой плотность энергии, воз-

плотность энергии

оказывается не зависящей от

того, из какой точки

происходит смещение элемента контура,

11( , ′′, )

и поэтому является его′

некоторой общей характеристикой.