вектора важно для построения реалистической математической модели, так как отсутствие изменения положения точки в какойто подвижной системе координат, вообще говоря, не означает, что среда не обладает скоростью в исходной системе координат. Адекватная математическая модель должна учитывать априорное наличие вектора скорости в исходной системе координат.
Данные свойства приводят к тому, что при преобразовании
Галилея (43) выражение |
|
∙ ( , ) |
(52) |
не является инвариантным, а выражение
|
(53) |
|
является инвариантным. Поэтому при переходе в подвижную систему координат операции (52) и (53) надо различать, несмотря на то, что в исходной системе координат эти операцииэквивалентны.
2.5.3.Причина потери галилеевой инвариантности в обобщённых уравнениях Максвелла – неинвариантное преобразование исходных уравнений эфира. Инвариантность обобщённых уравнений Максвелла при досветовой скорости движения системы координат
Инвариантность ротора вектора и выражения (53) относительно преобразования Галилея (43) позволяет заключить, что определения магнитного и электрического полей (20), (21) являются инвариантными относительно этого преобразования
89
|
′ |
′ |
|
|
(54)
(55)
Здесь и далее в п. 2.5 наличие штриха у функции будет означать, что её аргументы также штрихованы.
Сделаем важное пояснение к определению |
|
. В постулируе- |
||||||||||
мом уравнении движения эфира (5) с полной |
производной, пред- |
|||||||||||
|
|
/ = |
||||||||||
( / ∙ )( ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
ставленной через частные производные, фигурирует выражение |
||||||||||||
|
|
или |
|
|
|
|
( , ) |
|
. По- |
|||
|
. В исходной системе координат |
|
|
|||||||||
( / ∙ )( ), |
|
( ∙ )( ) |
|
|
|
|
|
|
выражениями |
|||
этому в исходных координатах определения |
|
|
|
|
||||||||
( / ∙ )( ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
′ |
|
. |
|
|
|
( / ∙ |
эквивалентны. Однако формула |
|||||||
|
|
|
)( ) = ( ′/′∙ |
)(′′) + |
||||||||
( ∙ ′)(′ ′) |
|
согласно (45), неинвариантна относительно пре- |
||||||||||
|
привело бы к введению |
в математическую мо- |
||||||||||
образования Галилея: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
( / ∙ )( ) |
Определение |
по неинвариантной |
формуле |
|||||||||
|
||||||||||||
дель неинвариантного понятия и в результате к неинвариантному описания эфира в терминах такого понятия. Поэтому электриче-
поле определяется инвариантным выражением (55) |
|
||
скоеФизическая интерпретация инвариантного определения. |
элек- |
||
лы, обусловленной перемещением |
,0 |
как плотности си- |
|
трического поля (55) состоит в понимании |
|
||
лагранжевых объёмов сплошной среды в исходной системе координат. В математической абстракции такая сила описывается направленным отрезком (вектором), инвариантным относительно преобразования Галилея.
Взяв дивергенцию от (54), (55), находим
(56)
(57)
Подставим уравнение (51) в (50):
90
|
|
′ |
+ (′ ∙ ′)(′ ′) − ( ∙ ′)(′ ′) = |
,0′ |
. |
(58) |
||
в |
|
( |
∙ )(′ ′) ≠ 0 |
|
|
|
|
|
при |
Уравнение (51) неинвариантно. Поэтому такая подстановка |
|||||||
|
|
|
превращает инвариантное уравнение (50) |
|||||
|
неинвариантное′ |
, то есть является неинвариантным преобразо- |
||||||
ванием уравнения. Однако, если при галилеевой замене рассмат- |
||||
| | | ′| |
|
|
| | |
|
ривать не слишком быстро движущиеся системы координат |
||||
, то свойство инвариантности для уравнения (58) будет |
||||
выполняться приближённо с точностью до члена порядка |
: |
|||
′ |
+ (′ ∙ ′)(′ ′) = |
,0′ |
. |
(59) |
Скорость свободного распространения возмущений в эфире равна скорости света. Характерные скорости процессов в эфире имеют тот же порядок. Поэтому данное приближение выполнено для преобразований Галилея к системам координат, скорость
движения которых много меньше скорости света |
|
|
|
|
′ |
|
. |
|||||||||||
Так же как в п.2.1, применим к |
|
|
( ∙ |
)(′ ′) = 0 |
|
|
|
|
в |
|||||||||
Уравнение (59) будет выполняться без |
ограничения на |
|
||||||||||||||||
|
| | ~ |
| ′| |
|
|||||||||||||||
и оператор производной вдоль кривой |
′ |
′ |
|
. Получим |
|
|
|
× |
||||||||||
случае специальных потоков эфира: |
|
|
|
|
. |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
уравнению (59) оператор |
|
|
|
|
||||||||
ные уравнения Фарадея и Ампера в |
|
( |
∙ |
|
) |
|
|
обобщён- |
||||||||||
|
|
+ ′ × |
|
|
|
штрихованной′ |
системе |
(61) |
|
|||||||||
|
|
′ |
= ,0 |
′ |
× |
′ |
, |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(60) |
|
||||
′ |
+ (′∙ ′)(′) = (′∙ ′) |
,0′ |
. |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
С помощью преобразований, описанных в приложении 1 на с. 704, уравнение (61) приводится к форме
91
′ × ′ = ′ + 4 ′. (62)
Получаем систему обобщённых уравнений Максвелла в подвижной системе (54)–(57), (60), (62), вид которых совпадает с их видом в исходной системе координат (20)–(23), (26)–(29). По-
этому обобщённые уравнения Максвелла инвариантны относи- |
|||
|
| | |′| |
|
( ∙ |
тельно преобразования Галилея с точностью до величины по- |
|||
)( ′ ′) = 0 |
|
|
|
рядка |
|
или для специального потока эфира |
|
′ |
без ограничения на . |
В общем случае произвольной скорости движения подвиж- |
ной системы координат обобщённые уравнения Максвелла, по-
лученные из (58), вообще говоря, не будут инвариантными отно-
сительно преобразования Галилея, так как в результате этого |
||||||||||||||
преобразования в них появляется член, зависящий от : |
||||||||||||||
|
+ ′ |
× ′ = |
,0 |
′ |
× |
′ + ′ × ( ∙ ′)(′ ′) , |
||||||||
′ × |
|
′ = |
′ |
+ 4 ′ − ( ′ ∙ ′) ( ∙ ′)(′ ′) . |
||||||||||
Таким образом, |
расчёт |
|
|
и |
|
из обобщённых уравнений |
||||||||
Максвелла (60), (62) в |
|
подвижной системе (43) даёт приближён- |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
исходные |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. Для получения точных ре- |
|
ные результаты |
с погрешностью |
|
||||||||||||
зультатов для |
|
и |
|
в |
подвижной системе нужно использовать |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
| | |
|
||||||
(54), (55). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
уравнения в эйлеровой (49)–(51) или лагранжевой |
||||||||||||
форме (9)–(11) (см. с. 48), а |
|
и |
|
вычислять затем по формулам |
||||||||||
Отметим, что система (9)–(11) не содержит ограничений на величину скорости| | ~эфира|′| и допускает сверхсветовые скорости. Приближение , сделанное при выводе уравнений
92