Приложение 1.Элементы комбинаторики Основные правила комбинаторики

Обычно в комбинаторных задачах требуется определить (или оценить) количество соединений рассматриваемых объектов. И в общем случае это осуществляют с помощью следующих правил.

Правило сложения.Если некоторое событие А может наступить вmслучаях, а другое событие В может наступить вncлучаях, то событие

«А или В» может наступить в m+nслучаях.

Правило умножения.Если событие А может наступить вmслучаях, и в каждом из этих случаев событие В может наступить вncлучаях, то событие

«А и В» может наступить в m×nслучаях.

Простейшие соединения

Размещением из n по mназывается соединение поmэлементов из

n-элементного множества, в котором важен порядок расположения элементов.

Число размещений из nпоmобозначается черези вычисляется по формуле:

При n=mразмещение изnпоnназываетсяперестановкойnэлементов. Число таких перестановок обозначается через(последнее выражение читается «nфакториал»), и вычисляется так:

Сочетанием из n по mназывается соединение поmэлементов из

n-элементного множества, в котором не важен порядок расположения элементов. Число сочетаний изnпоmобозначается черези вычисляется по формуле:

Введенные формулы обладают следующими свойствами.

1.

2. - свойство симметрии.

3.

4.

5. -

формула бинома Ньютона.

Упражнения 7

1. В ящике содержатся 3 белых и 4 черных шаров. Сколькими способами можно извлечь один шар из ящика?

2. В 1-м ящике содержится 4 шара и во 2-м ящике содержится 5 шаров. Сколькими способами можно извлечь два шара по одному из каждого ящика?

3. Из пункта А в пункт В ведут 3 дороги, из пункта В в пункт С ведут 4 дороги. Сколько различных путей имеется из А в С?

4. На вершину горы ведут 4 дороги. а). Сколькими способами турист может подняться и спуститься с нее? б). Сколькими способами турист может подняться и спуститься с нее, если спуск и подъем должен происходить по разным дорогам?

5. Имеется четыре различных конвертов и пять видов марок. Сколькими способами можно составить письмо, если а) на конверт должна наклеиваться одна марка; б) на конверт надо наклеивать две марки ?

6. Для запирания автоматической камеры хранения применяется замок с числовым шифром, который открывается лишь тогда, когда набрано некоторое «тайное число». Пусть «тайное число» состоит из 4 цифр от 0 до 9. Сколько наибольшее число неудачных попыток может сделать человек, не знающий «тайного числа»?

7. Автомобильный номер состоит из 3 букв латинского алфавита и трех цифр от 0 до 9. Сколько можно составить различных автомобильных номеров?

8. В спортивных соревнованиях участвуют 20 человек. Сколько существует вариантов распределения призовых мест: 1-е, 2-е, 3-е место?

9. В студенческой группе 20 человек. Необходимо выбрать трех делегатов на конференцию. Сколькими способами это можно сделать?

10. Экзаменационный билет содержит 2 вопроса из 20. Студент выучил только 10 вопросов. Сколько можно составить различных билетов, и сколько из них могут оказаться «счастливыми» для этого студента?

11. В ящике находится 4 белых и 5 черных шаров. а). Сколькими способами можно извлечь 2 шара любого цвета? б). Сколькими способами можно извлечь 2 белых шара? в). Сколькими способами можно извлечь 3 черных шара? г). Сколькими способами можно извлечь 2 шара разных цветов? д). Сколькими способами можно извлечь 1 белый и 2 черных шара ?

12. В первом ящике находится 4 белых и 5 черных шаров, во втором ящике находится 3 белых и 2 черных шаров. Из каждого ящика извлекают по 1 шару. а). Сколькими способами можно извлечь только белые шары? б). Сколькими способами можно извлечь только черные шары ? в). Сколькими способами можно извлечь шары разных цветов?

13. В первом ящике находится 4 белых и 5 черных шаров, во втором ящике находится 3 белых и 2 черных шаров. Из каждого ящика извлекают по 2 шара. а). Сколькими способами можно извлечь только белые шары? б). Сколькими способами можно извлечь только черные шары? в). Сколькими способами можно извлечь 2 белых и 2 черных шара?

14. Двум студентам подарили 15 яблок. Сколькими способами они могут поделить эти яблоки между собой?

15. Трем студентам подарили 20 яблок. Сколькими способами они могут поделить эти яблоки между собой?

16. Сколько существует способов получить в 5-карточной раздаче ровно две пары?

17. Сколько существует способов получить в 5-карточной раздаче пять карт одной масти (флеш)?

18. Вычислить: 1); 2); 3); 4); 5); 6) 5; 7) 6 ; 8) 0 9); 10).