§2. Экстремумы функций двух переменных
Определение
12.
Функция z
= f(x,y)
имеет максимум
(минимум)
в точке
(
,
),
если значение функции в этой точке
больше (меньше), чем ее значение в любой
другой точке M(x,y)
некоторой окрестности точки
,
то естьf(
,
)
>
f(x,y)
(соответственно
f(
,
)
<
f(x,y))
для всех точек M(x,y),
принадлежащих этой окрестности.
Теорема
3
(Необходимое
условие экстремума).
Если дифференцируемая функция z
= f(x,y) достигает
экстремума в точке
(
,
),
то ее частные производные первого
порядка в этой точке равны нулю:
(
,
)
=0,
(
,
)=0.
Точки, в которых частные производные равны 0, называются стационарными точками. Стационарные точки и точки, в которых производные не существуют и которые лежат внутри области определения функции, называются критическими точками. Замечание 1. Не всякая критическая точка является
точкой экстремума.
Теорема
4 (
Достаточное
условие существования экстремума).
Пусть
(
,
)
-критическая
точка функции z = f(x,y),
и пусть A
=
(
,
),
B
=
,C
=
.
Составляется
дискриминант
= A∙C
-
.
Тогда: если
,
то функция имеет в точке
(
,
)
экстремум,
а именно максимум,
при
A<0,
и минимум,
при A>0;
если
,
то в точке
(
,
)экстремума
нет; если
,
то требуется дальнейшее исследование
(сомнительный случай).
Пример
8.
Найти экстремум функции z
=
+
8
-
6xy
+5.
Решение. Вычисляют частные производные первого порядка и находят критические точки, в которых они равны нулю или не существуют:
=3
;
=24
.
Решают систему
,
получают две точки:
).
Обе точки являются критическими.
Вычисляют производные второго порядка
для каждой точки.
1).
,
A=0;
,B=-6;
,C
= 0,
В
точке
экстремума нет.
1).
,
A=6;
,B=
-6;
,C
= 24,
Cледовательно,
)
есть точка минимума, и
Min
z
=
)
= 4.
§3. Метод наименьших квадратов
Пусть
проводится
n
однородных испытаний или экспериментов
и результатом каждого испытания является
пара чисел – значения некоторых
переменных x,
y.
Испытание с номером
i
приводит к числам
и
.
В качестве испытания можно, например,
рассматривать выбор определенного
предприятия в данной отрасли
промышленности. и величинойx
считать
объем производства продукции, за y
- объем экспорта этого вида продукции,
Пусть обследуют n
предприятий отрасли. (Можно считать x
независимым показателем или фактором,
y
-
зависимый показатель – результат).
И
пусть каждому числу
поставлено в соответствие число
|
|
|
… |
|
|
|
|
… |
|
Требуется найти приближенную формулу для функции y = f(x), которая наилучшим образом описывала бы данные таблицы.
Пусть
точки с координатами (
,
).
группируются на плоскости вдоль некоторой
линии, и пусть в данном разделе эта линия
является прямой:
y = ax+b. (1)
Задача
заключается в том, чтобы подобрать
параметры a,
b
этой
прямой, причем это нужно сделать так,
чтобы она лучше любой другой прямой
соответствовала экспериментальным
точкам (
,
).
Признаком наилучшей прямой считается
минимум суммы квадратов отклонений
фактических значений
,
полученных из таблицы, от значений,
вычисленных по формуле (1).
Эта сумма квадратов рассчитывается по
формуле:
=
,
или
Здесь
является функцией от двух переменныхa
и
b.
Условием минимума этой функции являются
равенства 0 ее частных производных:
=
=
.
В результате получают так называемую систему нормальных уравнений
Построение
этой системы производится с помощью
расчетной таблицы размера (n+2)4.
В первых столбцах записывают исходные
значения
,
,
затем произведения
∙
и
квадраты
.
В нижней строчке помещаются суммы по
столбцам:
.
Cистема нормальных уравнений принимает вид:
(2)
В данном случае решение этой системы можно вычислить по формулам:
a
=
;
b
=
-a
. (3)
Найденное уравнение (1) называется искомым уравнением регрессии.
Пример 9. Пусть между x и y существует зависимость вида y = ax + b.
С помощью метода наименьших квадратов на основе следующих данных:
а)
найти параметры a,
b;
б) определить
для
= 15.
|
x |
3 |
5 |
8 |
10 |
9 |
7 |
2 |
6 |
4 |
1 |
|
y |
4 |
6 |
8 |
9 |
9 |
6 |
3 |
7 |
5 |
3 |
Решение.
Пусть выполняются условия задачи.
Составляют сумму квадратов отклонений:
|
|
|
|
|
|
3 |
4 |
12 |
9 |
|
5 |
6 |
30 |
25 |
|
8 |
8 |
64 |
64 |
|
10 |
9 |
90 |
100 |
|
9 |
9 |
81 |
81 |
|
7 |
6 |
42 |
49 |
|
2 |
3 |
6 |
4 |
|
6 |
7 |
42 |
36 |
|
4 |
5 |
20 |
16 |
|
1 |
3 |
3 |
1 |
|
55 |
60 |
390 |
385 |
имела
наименьшее значение. Условия минимума
записывают
в виде системы нормальных уравнений
(2).Составляют расчетная таблица. В первой
строке указаны формулы для заполнения
соответствующих столбцов.
Вычисляют суммы столбцов.
.
Составляют систему нормальных уравнений:
Решение этой системы находят по указанным формулам (3).
a
=
=1;
b
=
= 0,5.
Получено искомое уравнение регрессии:
y
= x+0,5.
При
=15
получается
15,5.