§5. Несобственные интегралы

В определении 3 определенного интеграла и для функцииf(x)по промежутку [a;b], предполагается, что функцияf(x)ограниченна и промежуток [a;b] конечен. В данном пункте вводятся несобственные интегралы, для которых указанные ограничения снимаются..

Определение 4.Несобственными интегралами с бесконечными пределами интегрированияназываются интегралы, определяемые следующим образом:

Второй вид несобственных интегралов – это интегралы от неограниченных функций.

Определение 5.Пусть функцияf(x) непрерывна на [a;b], кроме точкис[a;b], в которойf(x) имеет разрыв IIрода. Тогданесобственный

интеграл от f(x) в пределах от а до b определяется, как сумма следующих пределов:

Если при вычислении несобственного интеграла полу­чаемый предел конечен, то говорят, что несобственный интеграл схо­дится, если нет, то -расходится.

Пример 15. Вычислить следующие несобственные интегралы.

Иногда не требуется вычислять данный несобственный интеграл, а достаточно только выяснить его сходимость. В таких случаях сходи­мость несобственного интеграла устанавливается методом сравнения, кото­рый опирается на следующее утверждение.

Упражнения 2

1. Найти следующие неопределенные интегралы.

1). (x⁴ - 3x³ + 2x)dx. 2). (x - 3x²)(2 – x)dx. 3). (2x - 3x^1/2 + 4x^1/3 – 5/x)dx.

4).5).6).

10). (3 - 2х)⁴ dx. 11). (е^х + е^х)²dx. 12). (1-4х) dx.

16). х ln(x -1) dх. 17). хе^х dх. 18). х lnx dx.

2.Вычислить определенные интегралы.

3. Вычислить площадь, ограниченную линиями:

1). y= 0 и y= 9 –x². 2).y= 0 и y = 3 – 2x–x².

3). y =x²иy= 2 –x². 4).xy= 6 и x+y = 7.

5). x= 0 и y²= 2x+ 4. 6).y²=x³,y= 8,x= 0.

7). y = 2^x , y = 2, x = 0. 8). y = e^x, y = e^-x, x = 1.

4. 4. Определить объем тела, образованного вращением вокруг оси Охили Оу фигуры, ограниченной указанными линиями:

1). y²= 4x,x= 5вокруг Ох. 2).хy= 4,x = 1,x= 4,у= 0вокруг Ох.

3). y²= 4 -x,x= 0вокруг Оy. 4).y=x³,x= 0,у= 8вокруг Оy.

5. Вычислить несобственные интегралы:

Ответы к упражнениям 2

1. 1) ; 2); 3);

4) ; 5); 6); 7);

8) ; 9); 10); 11)

; 12) ; 13); 14);

15) ; 16); 17)

; 18) ; 19); 20); 21).2. 1) »16,833; 2) » 0,568; 3) » 29,099;

4) »14,281; 5) »1,405; 6) » 0,693; 7) »13,4; 8) » 3,386; 9) » 0,93;

10) »1,307; 11) »10,237. 3. 1) 36; 2) » 10,667; 3) » 2,667;

4) »6,749; 5) »5,333; 6) 19,2; 7) » 0,557; 8) » 1,086. 4. 1) 50p; 2) 12p;

3) ; 4) 19,2p. 5. 1) расходится; 2) 3; 3) 1; 4) 0,5; 5) расходится.

Глава 3. Функции нескольких переменных

Сравнительно недавно оказалось, что основные понятия многомерной геометрии являются хорошим материалом для моделирования такого реального явления, как состояние газовой смеси. Создателями соответствующего метода исследования считаются советская школа академика Курнакова и американский ученый Гиббс. Было замечено, что состояние какой-либо физико-химической системы определяется n величинами. Так, например, состояние газовой смеси определяется температурой, давлением и концентрациями составляющих ее компонентов. Тогда говорят, что система имеет n степеней свободы, выражая этим, что ее состояние может изменяться, так сказать, в n независимых направлениях с изменением каждой из определяющих это состояние величин.

Эти величины играют роль, как бы его координат. Поэтому совокупность всех ее состояний рассматривают как n-мерное пространство - так называемое фазовое пространство системы.

Непрерывные изменения состояния системы изображаются линиями в этом пространстве .Отдельные области состояний. выделяемые по тем или иным признакам, будут областями пространства. Состояния. пограничные для двух областей, образуют поверхности в этом пространстве.

Понятие фазового пространства применяется не только к физико-химическим, но и к механическим системам. В кинитической теории газов рассматривают, например, фазовые пространства системы материальных частиц – молекул газа. Состояние движения одной частицы в каждый момент определяется ее положением и скоростью, что дает всего шесть величин: три координаты и три составляющие скорости по трем осям координат. Тогда состояние n частиц задается 6n величинами, и так как молекул очень много, то 6n - огромное число. Такое абстрактное представление оказывается очень полезным во многих глубоких теоретических выводах термодинамики и статистической физики.

(см. А.Д. Александров. Математика, ее содержание, методы и значения, т..III, -М. АН СССР, 1956, с.147-149).