Упражнения 4

1.Вычислить: а). (3-7i) + (-2+i) + (-1+5i); б). (3-7i)(3+7i);

в). i∙Re(;г). Найти значение функции w = приz = (- 1- i). д). (2+3i)(4-5i) + (2-3i)(4+5i).

2. Найти x, y из уравнения, считая их вещественными:

(1+2i)x + (3 - 5i)y = 1 - 3i.

3. Решить систему считая x, y, z, t вещественными:

4. Решить системы: а) ;

б).;в)

7. Выполнить действия: а);б);;в). ;

г). ; д);е). .

8. Постройте на комплексной плоскости множества, заданные следующими условиями:

a). |z + 2| = 2; | б). z - 3i - 2| = 4; в) |z + 2| + |z - 2| = 5;

г) |z + 2| + |z - 2| >3; д). |z – 3 + i  4; е). |z + 2 - 3i| > |z – 5 + i|;

ж) |z -| = |z -з) Re(5z) < 1; и) -1 < Im(z - i) < 5.

9. Вычислить, пользуясь формулой Муавра:

; б).; в)..г).;д); е).;ж).

10. .

Глава 5. Разложение рациональных дробей

Определение 1. Полиномом степени n от x называется функция P(x) вида (x) = +…+ +, гдеx – переменная и …,– коэффициенты, являющиеся некоторыми числами (вообще говоря, вещественными или комплексными, но в конкретных задачах можно рассматривать только рациональные или целые числа).

Число называетсякорнем (x), если верно равенство ) = 0.

Операции сложения, вычитания и умножения полиномов определяются обычным широко известным способом. Поэтому в этом разделе основное внимание уделяется операции деления полиномов и разложению рациональных дробей.

Пусть выполняется операция деления полинома (x) степени n на полином (x) степени m, где n > m. Ясно, что всегда существуют некоторые полиномы K(x) и R(x) такие, что выполняется равенство:

(1)

(x) = (x)∙K(x) + R(x).

Следующий пример показывает, как выполняется операция деления полиномов.

Пример 1. Выполнить деление P(x) = 2x³3x²+4x5 на Q(x) = x²3x+1.

Решение. 2x³ 3x² + 4x 5 x²3x+1

(2x³ 6x² + 2x) 2x +3

3x² +2x5

(3x² 9x+3)

11x8

Здесь(x)= 2x³ 3x² + 4x 5 называется делимое, (x) = x²3x+1 делитель, K(x) = 2x +3- частное и R(x) = 11x8 называется остатком.

Легко понять, что степень остатка R(x) меньше, чем степень делителя. Тогда из (1) следует, что степень (x) равна сумме степеней полиномов (x) и K(x).

Из равенства (1) следует, что если делитель (x) = (x ), то остаток от деления полинома (x) на двучлен (x ) является полиномом нулевой степени он и равен (). Тем самым доказана следующая теорема.

Теорема Безу. Остаток от деления полинома (x) на полином вида

(x ) равен значению этого полинома в точке .

Следствие 1. Если – корень полинома(x), то этот полином делится на (x ) без остатка.

Пример 2. Выполнить деление P(x) = x³3x²x1 на Q(x) = 2x+1.

Решение. x³ 3x²  x 1 2x + 1

(x³ x²  +

 x² x 1

(x² x)

 

В примере 2 делитель можно представить в виде Q(x) = 2x + 1 = 2(x +). Множитель 2 является числом и потому он не влияет на остаток. Тогда по теореме Безу, остаток при деленииP(x) = x³3x²x1 на (x +) и на 2x + 1 должен равняться значению полинома P(x) при x= -0,5. Действительно P(-0,5)=.

Пример 3. Разложить на множители P(x) = 3 105.

Решение. Дискриминант многочлена равен 1296, тогда его корни равны =7,=5. Согласно следствию 1, полином 3 105 делится на (x 7) без остатка:

3 105 x 7

(33x+15

15x  105

(15x  105) Получилось: 3 105 = ( x 7)( 3x+15).

Определение 2. Дробно-рациональной функцией от x называется функция, которая эквивалентными преобразованиями можно привести к виду дроби =

где – некоторые полиномы отx степени m и n. Если m < n, то эта дробь называется правильной, в противном случае такая дробь неправильная.

При этом если коэффициенты полиномов являются вещественными числами, то такая дробь называетсявещественной.

Теорема 1. Любую дробно-рациональную вещественную функцию от x можно представить в виде суммы вещественного полинома от x и правильной вещественной дроби от x.

Доказательство. Сначала исходная функция с помощью известных эквивалентных преобразований дробей, приводится к отношению двух вещественных полиномов . Упомянутые преобразования – это сложение, умножение или деление дробей, и очевидно, что если эти дроби были вещественными, то получаемые дроби будут также вещественными. Если в результате этих преобразований полученная дробь не является правильной, то производится деление. Теорема доказана.

Определение 3. Простейшими вещественными дробями от x называются рациональные дроби вида:

и

,

где a, b,c,d,p,q – вещественные числа.

Теорема 2. Любая правильная рациональная вещественная дробь от x представима в виде суммы простейших вещественных рациональных дробей.