Методы интегрирования дифференциальных уравнений

1-й метод. Метод разделения переменных. Этот метод применяется к уравнениям вида , т. е. правая часть является произведением двух функций от разных переменных x и y. Такое уравнение записывается в виде

.

Выражения dy и dx называются дифференциалами переменных. Известно, что зависимость между этими величинами выражается равенством: dy =∙dx . Поэтому при умножении обеих частей этого уравнения на дробь получится равносильное дифференциальное уравнение (правда, при условии g(y)  0, но об этом позже):

,

в котором переменные x и y находятся в разных частях. Такое уравнение называется дифференциальным уравнением с разделёнными переменными. К обеим частям этого равенства приписывают впереди символы интегралов, в результате получится так называемое равенство в квадратурах, которое теоретически считается решением рассматриваемого уравнения. А если эти интегралы будут вычислены, то получится общий интеграл этого уравнения

Замечание 1. При разделении переменных часто приходится делить обе части уравнения на некоторые выражения, содержащие неизвестную функцию. При этом надо обязательно предполагать, что делитель не равен 0. В результате некоторые значения переменной y становятся недопустимыми, и они могут не войти в полученное общее решение уравнения. В таких случаях надо отдельно рассматривать случаи, когда делитель равен 0. Часто полученные при этом значения y являются особыми решениями исходного уравнения, и их прибавляют к общему решению.

2-й метод. Метод интегрирования однородных дифференциальных уравнений 1-го порядка. Такое уравнение имеет вид

y = f(x,y),

где правая часть является однородной функцией, которая удовлетворяет следующему условию: для любого множителя t имеет место:

f(t∙x, t∙y) = f(x,y).

Если в этом равенстве взять t = , то получится равенство: f(1, ) = f(x,y) .Тогда замена u = приводит это дифференциальное уравнение к виду:

u +x = f(1,u),

которое является с разделяющимися переменными. Находится решение этого уравнения и производится обратная замена y= x∙u.

3-й метод. Метод Бернулли. Он применяется к линейным уравнениям и к некоторым другим уравнениям.

Определение 4. Линейным дифференциальным уравнкнием 1-го порядка называется уравнение вида

+ p∙y = q,

где p, q - некоторые функции от x. Согласно условиям существования решения задачи Коши, эти функции должны быть непрерывными.

Решение разыскивается в виде произведения двух неизвестных функций: производится замена: y=u∙v и . Получается уравнение

+ p∙u∙v = q.

Дальше решение разделяется на две части. 1-я часть. В полученном уравнении второе и третье слагаемые группируются вместе ( + p∙u∙v), выносится общий множитель u за скобку + p∙v) и полученное в скобке выражение приравнивается к 0: + p∙v = 0. В результате исходное уравнение упрощается:. Но сначала, в качестве v подбирается функция, являющаяся решением предыдущего уравнения. Оно чвляется с разделяющимися переменными, получается: = -p∙v, тогда = - pdx и

 = -  pdx. Отсюда ln|v| = -pdx или v = , (здесь константу «с» не пишут).

2 -я часть. Найденную функцию v подставляют назад во вторую часть уравнения, получается . Отсюдаu =  + c. Функции u и найдены, и искомое решение равноy = u∙v =( + c)().

4-й метод. Метод вариаций (или метод Лагранжа). Рассматривается линейное уравнение из предыдущего пункта. Ему соответствует уравнение вида

+ p∙y = 0,

которое называется линейным однородным уравнением. Оно решается методом разделения переменных так, как это было описано в первой части предыдущего пункта. В соответствующий момент получается общий интеграл вида: ln|y| = -pdx+ ln|c|, (параметр с не отбрасывается). Это равенство преобразуется к виду y = c∙. Далее, решение полного линейного уравнения отыскивается в виде y = c(x)∙. Понимая под с некоторую функцию от x. Такое решение существует, действительно если эту функцию подставить в исходное уравнение, то получится:

∙+c(x)∙ + p∙ c(x)∙=q.

Здесь = -p∙, поэтому получилось уравнение: ∙= q.

Отсюда с(x) =(q∙)dx+, и у =( + )().

Пример 4. Найти общее решение +y∙tgx = 2xcosx.

Решение. Соответствующее линейное однородное уравнение +y∙tgx = 0 имеет решение y = c(x)∙cosx. Функция c(x) удовлетворяет уравнению =2x. Поэтому с(x)=. Общее решение равноy=.

5-й Метод. Он применяется к так называемым уравнениям Бернулли, имеющим иид:

,

где p, q – непрерывные функции от x.

Это уравнение можно решать описанным выше методом Бернулли, или следующим более простым методом. Обе части уравнения делятся на и делается замена: , гдеz – новая неизвестная функция. В результате получается линейное уравнение относительно функции z: . Указанным выше методом находится общее решение этого уравнение, и делается обратная замена:y = .