§4. Основные теоремы о дифференцируемых функциях

Если функция имеет производную во всех точках некоторого промежутка (a; b), то она называется дифференцируемой на (a; b). Как уже было сказано выше, производная функции является основным современным инструментом при исследовании непрерывных процессов в техносфере. Ниже приведены основные теоремы о дифференцируемых функциях, на которые опираются правила применения производных в таких исследованиях.

Теорема 1. Если функция f(x) имеет производную в точке х₀, то она непрерывна в этой точке.

Доказательство. Пусть f(x) имеет производную f (x₀). В §4 показано, что в этом случае приращение функции y = f(x)  f(x₀) представимо в видеy = f (x₀)х + х. Отсюда следует, что разность f(x)  f(x₀) является бесконечно малой величиной при х  0, а это означает, что

Теорема Ролля. Если функция f(x) определена и непрерывна на сег­менте [a; b], дифференцируема внутри (a; b) и на концах принимает одинаковые значения f(а) = f(b), то существует точка x₀ из (a; b) такая, что

f (x₀) = 0.

Доказательство. Пусть выполняются все условия теоремы, тогда, по теореме 2 из главы 4, f(x) достигает на [a; b] наибольшее и наименьшее значения. Если эти значения достигаются на концах [a; b], то f(x) постоянная, и тогда ее производная равна 0 в любой внутренней точке [a; b], т.е. утверждение теоремы выполняется. Теперь, пусть наибольшее значение f(x) достигается в некоторой внутренней точке x₀ из (a; b), т.е. для всех x из [a; b] выполняется неравенство f(x₀)  f(x). Тогда приращение функции y = f(x)  f(x₀)  0. Отсюда следует, что

По условию, существует f (x₀), следовательно, эти пределы существуют и оба равны значению f (x₀). Тогда f (x₀) = 0, т.е. утверждение теоремы выполняется. Аналогично рассматривается случай, когда наименьшее значение f(x) достигается внутри (a; b). Теорема доказана.

Теорема Лагранжа. Если функция f(x) определена и непрерывна на сегменте [a; b], дифференцируема внутри (a; b), то существует точка x₀ из (a; b) такая, что

f(b)  f(a) = (b  a)f (x₀).

Доказательство. Пусть выполняются все условия теоремы, тогда вводится следующая функция:

Легко проверяется, что эта функция удовлетворяет всем условиям теоремы Ролля. Тогда существует точка x₀ из (a; b) такая, что F (x₀) = 0. Но это равенство означает, что Отсюда легко получается искомое равенство. Теорема доказана.

§5. Исследование функций на монотонность и экстремум

Теперь, рассматриваются основные условия исследования функций на монотонность и экстремум с помощью производной. Эти условия разделяются на необходимые и достаточные.

Теорема 3. Для того чтобы в интервале (a; b) функция f(x) была постоянной, необходимо и достаточно, чтобы ее производная равнялась нулю для всех точек x из (a; b).

Доказательство. 1). Пусть функция f(x) постоянна на (a; b), тогда, по первому правилу дифференцирования, ее производная равна 0. Необходимость доказана.

2). Пусть f'(х) = 0 для всех точек x из (a; b). Берутся произвольные точки x₁, x₂ из (a; b), и пусть для определенности x₁< x₂. К промежутку [x₁; x₂] применяется теорема Лагранжа, согласно которой, существует точка x₀ из (x₁; x₂) такая, что f(x₂)  f(x₁) = (x₂  x₁)f (x₀). Но, по условию, f'(x₀) = 0, следовательно, f(x₂)  f(x₁), т.е. функция f(x) постоянна на (a; b) и достаточность доказана.

Теорема 4 (необходимое условие монотонности функции). Пусть в интервале (a; b) функция f(x) дифференцируема. Тогда:

а) если f(x) возрастает, то ее производная в (a; b) не отрицательна, т.е. f (x) 0;

б) если f(x) убывает, то ее производная в (a; b) не положительна, т.е. f (x) 0.

Доказательство. а). Пусть функция f(x) возрастает в (a; b), т.е. для любых x₁, x₂ из (a; b) выполняется соотношение: x₁ < x₂  f(x₁) < f(x₂). Тогда, для указанных точек x₁, x₂ следующее отношение положительное:

Отсюда следует, что производная f (x₁)0. Утверждение а) доказано. Аналогично доказывается утверждение б).

Теорема 5 (достаточное условие монотонности функции). Пусть в интервале (a; b) функция f(x) дифференцируема. Тогда:

а) если f (x) > 0 на (a; b), то f(x) возрастает на (a; b);

б) если f (x) < 0 на (a; b), то f(x) убывает на (a; b).

Доказательство. а). Пусть f (x) > 0 на (a; b) и точки x₁ , x₂ из (a; b) такие, что x₁ < x₂ . По теореме Лагранжа, существует точка x₀ из (x₁; x₂) такая, что f(x₂)  f(x₁) = (x₂  x₁)f (x₀). Здесь правая часть равенства положительная, поэтому f(x₂)  f(x₁) > 0, т.е. f(x₂) > f(x₁) . Это означает, что f(x) возрастает на (a; b). Утверждение а) доказано. Аналогично доказывается утверждение б).

Пример 10. Функция у = х³ всюду возрастает, так как с ростом значений х возрастают кубы этих значений. Производная этой функции у= 3х² всюду неотрицательная, т.е. выполняется необходимое условие монотонности.

Пример 11. Найти промежутки возрастания и убывания функции у = 0,25х⁴ 0,5х².

Решение. Находят производную данной функции у = х³ х, и строят промежутки, в которых х³ х положительная или отрицательная. Для этого сначала находят критические точки, в которых у = 0: х³ х = 0  х(х + 1)( х 1) = 0  х₁ = 0, х₂ = 1 х₃ = 1. Эти точки разбивают числовую ось на четыре промежутка:

 +  + X

 2 1 0 1 2 3 +

Рис. 5.

В общем случае, для определения знаков производной берут по одной точке в каждом промежутке и вычисляют значения производной в этих точках. Но иногда достаточно взять только одну точку в крайнем правом промежутке, определить знак производной в этой точке, а в остальных промежутках знаки чередовать. В данном примере пусть х = 2, тогда у(2) = 2³ – 2 = 6 > 0. В правом интервале ставится знак +, а затем знаки чередуются. Получено у > 0 на промежутках (1; 0) и (1; + ), следовательно, исследуемая функция на этих промежутках возрастает. Далее, у< 0 на (; 1) и (0; 1), следовательно, исследуемая функция на этих промежутках убывает. Ниже на рис.6 построен график этой функции.

Определение 4. 1). Точка х_о называется точкой максимума функции f(x), если существует интервал (a; b), содержащий х_о, в котором значение f(x_о) наибольшее, т.е. f(x_о)> f(x) для всех х из (a; b).

2). Точка х_о называется точкой минимума функции f(x), если существует интервал (a; b), содержащий х_о, в котором значение f(x_о) наименьшее, т.е. f(x_о)  f(x) для всех х из (a; b). Точки максимума и минимума называются точками экстремума.

Теорема 6 (необходимое условие экстремума функции). Если х_о является точкой экстремума функции f(x) и существует производная

f (x₀), то f '(x₀) = 0.

Доказательство аналогично доказательству теоремы Ролля.

Точка x₀, в которой f (x₀) = 0 или f (x₀) не существует, называется критической точкой функции f (x). Говорят, что критические точки подозрительны на экстремум, т.е. они могут быть точками максимума или минимума, но могут и не быть ими.

Теорема 7 (достаточное условие экстремума функции). Пусть f(x) дифференцируема в некотором интервале, содержащем критическую точку х_о ( кроме, быть может, самой точки х_о). Тогда:

а) если при переходе через х_о слева направо производная f (x) меняет знак с + на  , то х_о является точкой максимума функции f (x);

б) если при переходе через х_о слева направо производная f (x) меняет знак с  на, то х_о является точкой минимума функции f (x).

Доказательство. Пусть выполнены все условия пункта а). Берут точку x (из указанного интервала) такую, что х < х_о, и применяют теорему Лагранжа к интервалу (х; х_о). Получают: f(x₀)  f(x) = (x₀  x)f (x₁), где x₁ – некоторая точка из (х; х_о). По условию, f (x₁) > 0 и (x₀  x) > 0, поэтому f(x₀) > f(x) . Аналогично доказывается, что для любой точки х > х_о тоже f(x₀) > f(x). Из этих утверждений следует, что – точка максимума, и утверждение а) доказано. Аналогично доказывается часть б).

Пример 12. В примере 11 показано, что функция у = 0,25х⁴  0,5х² имеет критические точки х₁ = 0, х₂ = 1, х₃ = 1. На рис.5 указано, что при переходе через эти точки ее производная меняет знак, следовательно, х₁, х₂, х₃  точки экстремума, при этом х₁ = 0  точка максимума, а х₂ = 1, х₃ = 1  точки минимума. Далее, приводится рисунок к этому примеру. Приэтом, сначала проверяют четность функции. Затем строят найденные выше точки графика и соединяют плавной линией. В примере 17 эта функция доисследуется на вогнутость.

y

y = 0,25x⁴  0,5x² x y

-1 0 max 1 х 1,5 0,14

A min B 1 -0,25

0,5 -0,11 0 0

–0,14 0-0,14

Рис.6.

Теорема 8 (второе достаточное условие экстремума).

Пусть х₀ – критическая точка функции f(x), и существует производная второго порядка f(х₀). Тогда:

a) если f ( х₀) < 0, то х₀ – точка максимума функции f(x);

б) если f (х₀) > 0, то х₀  точка минимума функции f(x).

Доказательство этой теоремы не рассматривается в ([1, с.71]).

Пример 13.Исследовать на экстремум функцию y = 2x²x⁴.

Решение. Находится производная y и критические точки, в которых

y= 9: y= 4x  4x³ = 0  x₁ = 0, x₂ = 1, x₃ = 1  критические точки. Находится производная второго порядка y и вычисляются ее значения в критических точках: y= 4 –12х²; y(0) = 4, y(1) = –8, y(1) = –8. Так как y(0) > 0, то x₁ = 0  точка минимума; и так как y(1) < 0, y(1) < 0, то x₂ = 1, x₃ = 1  точки максимума данной функции.

Абсолютными экстремумами функции на сегменте [a; b] называются наибольшее и наименьшее значения f(x) на [a; b]. Эти экстремумы достигаются в критических точках функции f(x) или на концах сегмента [a; b].

Пример 14. Определить наибольшее и наименьшее значения функции у = х²lnx на промежутке [0,5; e] .

Решение. Находят производную данной функции и ее критические точки: у = 2xlnx + x²(1/x) = x(2lnx +1) = 0  а) х₁ = 0; б) 2lnx + 1 = 0  ln x =0,5  х₂ = e^0,5 = 1/e 0,607. Критическая точка х₁ = 0 не входит в рассматриваемый промежуток [0,5; e] , поэтому находят значения функции в точке х₂ = e^ и на концах а = 0,5, b = e. у(e^) = (e^0,5)²ln(e^0,5) = e^1(0,5) = 0,5/e 0,184; у(0,5) = 0,25ln0,5 0,25(0,693) = 0,17325; у(e) = e²lne = e²17,389. Выбираются наибольшее и наименьшее среди найденных значений: наибольшее значение 7,389 в при х = е, наименьшее значение 0,184 в при х = e^0,5.