8.3.2.Экзаменационные билеты по высшей математике 3-й семестр

Экзаменационный билет№ 1

1. Понятие дифференциальных уравнения их виды: обыкновенные и в частных производных. Что такое решение уравнения, сколько бывает решений. Для уравнений 1-го порядка определить начальные условия, сформулировать задачу Коши и условия ее решения.

2. Асимптотическая формула Пуассона, условия ее применения. Пример.

3. Задача 1. Случайная величина Х распределена по нормальному закону с М (Х) = 10 и = 1. Найти интервал, симметричный относительно М(Х), в который Х попадает с вероятностью 0,95.

4. Задача 2. Найти решение дифференциального уравнения y’’ - 4y’ + 5y = 2x²e^2x

Экзаменационный билет№ 2

1. Понятие дифференциальных уравнения их виды: обыкновенные и в частных производных. Что такое решение уравнения, сколько бывает решений. Для уравнений 2-го порядка определить начальные условия, сформулировать задачу Коши и условия ее решения.

2. Асимптотическая локальная формула Муавра-Лапласа, условия ее применения.Локальная функция Лапласа и ее применение. Пример.

3. Задача 1. Абонент забыл последнюю цифру нужного ему номера телефона, однако помнит, что она больше 3. Составить закон распределения случайной величины - числа сделанных им наборов номера телефона до попадания на нужный номер, если он набирает наудачу и без повторений. Найти математическое ожидание

4. Задача 2 Решить дифференциальное уравнение: 2xy=y

Экзаменационный билет№ 3

1. Общий вид дифференциальных уравнений с разделенными переменными и их решение. Решение в квадратурах. Вид уравнений с разделяющимися переменными. Разделение переменных. Случаи появления особых решений. Примеры.

2. Дискретная случайная величине, закон распределения, многоугольник распределения. Дисперсия дискретной случайной величины, ее смысл и свойства. Среднее квадратическое отклонение. Доказать свойство D(Х)=М(Х²М²(Х).

3. Задача 1.Вероятность попадания в мишень при каждом выстреле равна 0,7. Производится 5 выстрелов. Определить вероятность того, что будет не менее 2 попаданий.

4. Задача 2. Решить уравнение y + 4y=2sin2x

Экзаменационный билет№ 4

1. Понятие однородной функции нулевого измерения. Однородные дифференциальные уравнения 1-го порядка, условия существования их решений. Метод решения путем сведения к уравнениям с разделяющимися переменными. Пример.

2. Условная вероятность. Теорема умножения для зависимых и независимых событий. Пример.

3. Задача 1. На склад поступило 8 шестеренок, среди которых 5 годных и 3 бракованных. Неудачу берут 4 шестеренки. Составить закон распределения случайной величины - числа годных шестеренок среди взятых. Найти математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины.

4.Задача 2. Решить дифференциальное уравнение:y + y = 2.

Линейные дифференциальные уравнения 1-го порядка, условия существования их решений. Методы решения. Пример.

1. Закон больших чисел. Неравенство Чебышева.

2. Задача 1 Участник олимпиады отвечает на три вопроса с вероятностями ответа на каждый соот-ветственно 0,2; 0,3; 0,4. За каждый верный ответ ему начисляется 5 баллов, за неверный списывается 5 баллов. Составить закон распределения случайной величины - числа баллов, полученных участником олимпиады. . Найти математическое ожидание

3. Задача 2. Найти решение дифференциального уравнения y’’  6y’ + 9y =10sin x.

Экзаменационный билет№ 6

1. Дифференциальные уравнения Бернулли, условия существования их решений метод их решения путем сведения к линейному уравнению. Примеры.

2. Схема повторных независимых испытаний. Формула Бернулли. Пример.

3. Задача 1. Из орудия ведется стрельба по удаляющейся цели до первого попадания. Вероятность попадания при первом выстреле 0,6, при каждом следующем уменьшается на 0,1. Составить закон распределения случайной величины - числа промахов при имеющихся 4 снарядах. Найти математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины.

4. Задача 2.Решить дифференциальное уравнение: 3xy- y = 0.

Экзаменационный билет№ 7

1. Дифференциальное уравнение 2-го порядка, условия, при которых оно имеет решение. Метод понижения порядка в случае, когда уравнение не содержит явно переменную x. Примеры.

2. Биномиальное распределение случайной величины, ее математическое ожидание и дисперсия.

3. Задача 1. При производстве некоторого изделия вероятность брака составляет 0,2. В этом случае предприятие терпит убыток в 10 тыс. руб. При изготовлении набракованного изделия прибыль предприятия составляет 20 тыс. руб. За день изготовлено 3 изделия. Составить закон распределения случайной величины – дневной прибыли предприятия. Найти математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины.

4. Задача 2. Решить дифференциальное уравнение y - x = y.

Экзаменационный билет№ 8

1. Линейно-зависимые и независимые функции. Определитель Вронского для линейно независимых решений линейного однородного дифференциальные уравнения 2-го порядка и его свойство.

2. Теорема сложения вероятностей для совместных и несовместных событий. Пример.

3. Задача 1. Вероятность нарушения герметичности у стеклянной банки с овощными консервами равна 0,0003. Найти вероятность того, что из 10000 банок герметичность нарушена хотя бы у трех банок.

4. Задача 2.Решить дифференциальное уравнение: yy^’’ + (y’)² = 1.

Экзаменационный билет№ 9

1. Необходимое и достаточное условие линейной зависимости решений линейного однородного дифференциального уравнения 2-го порядка (без доказательства, примеры зависимых и независимых решений).

2. Вычисление вероятности отклонения нормально распределенной случайной величины от математического ожидания. «Правило трех сигм». Принцип практической уверенности.

3. Задача 1. Вероятность того, что автобус сломается в течение рабочего дня, равна 0,1. Найти вероятность того, что из 5 автобусов на линии сломаются не более 3.

4. Задача 2. Решить дифференциальное уравнение: yy^’’ =( y’)³.

Экзаменационный билет№ 10

1. Теорема о структуре общего решения линейного однородного дифференциального уравнения. 2-го порядка.

2. Нормальный закон распределения, его плотность и смысл его параметров. Вероятность попадания в интервал [a;b] случайной величины, распределенной по нормальному закону. Пример.

3. Задача 1. В лотерее имеется 12 билетов, среди которых 3 выигрышных. Некто приобрел два билета. Какова вероятность, что он выиграет хотя бы по одному билету.

4. Задача 2. Решить дифференциальное уравнение: y - 5y + 6y =

Экзаменационный билет№ 11

1, Линейные однородные дифференциальные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами, вывод общего решения таких уравнений в случае, когда корни характеристического уравнения вещественные и различные.

1. Закон больших чисел. Теорема Чебышева и ее значение (без доказательства).

3, Задача 1.Задана плотность распределения f(x) непрерывной случайной величины Х.

f(x)=

а) найти А и М(X).

4. Задача 2. Решить дифференциальное уравнение: xy^’ - y  ln(y/x) = 0.

Экзаменационный билет№ 12

1. Линейные однородные дифференциальные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами, вывод общего решения таких уравнений в случае, когда корни характеристического уравнения вещественные и одинаковые.

2. Закон больших чисел. Следствие предельной теоремы Ляпунова, его значение (без доказательства).

3. Задача 1. Задана плотность распределения f(x) непрерывной случайной величины Х.

f(x)= найти А и М(X).

4.Задача 2. Решить дифференциальное уравнение: (x² + y² )dx + 2xydy = 0.

Экзаменационный билет№ 13

1. Линейные однородные дифференциальные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами, вывод общего решения таких уравнений в случае, когда корни характеристического уравнения комплексные.

2. Операции над случайными величинами. Построение законов распределения для линейной комбинации данных случайных величин.

3. Задача 1.Вероятность попадания в цель при одном выстреле равна 0,6. Найти вероятность того, что при пяти выстрелах будет не более трех промахов.

4. Задача 2. Решить дифференциальное уравнение: x²dy + (y 1)dx = 0.

Экзаменационный билет№ 14

1. Теорема о структуре общего решения линейных неоднородных дифференциальных уравнений 2-го порядка.

2. Математическое ожидание и дисперсия для непрерывных величин и их свойства. Пример.

3. Задача 1.

4. Задача 2. Найти решение дифференциального уравнения: 2ydx + (+1)dy=0.

Экзаменационный билет№ 15

1. Метод неопределенных коэффициентов нахождения частного решения линейного неоднородного дифференциального уравнения с2-го порядка постоянными коэффициентами с правой частью f(x) =. Примеры.

2. Дисперсия дискретной случайной величины, ее смысл и свойства. Среднее квадратическое отклонение. Проверка свойства D(аХ+bY)=a² D(X)+b² D(Y).

3. Задача 1. В лотерее имеется 10 билетов, среди которых 3 выигрышных. Некто приобрел два билета. Какова вероятность, что он выиграет хотя бы по одному билету.

4. Задача 2 Решить дифференциальное уравнение y+(y - 1)=0

Экзаменационный билет№ 16

1. Метод неопределенных коэффициентов для нахождения частного решения линейного неоднородного дифференциального уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами с правой частью f(x) = . Примеры.

2. Дискретная случайная величина, многоугольник распределения, математическое ожидание, его смысл и свойства. Проверка свойства М(аХ+bY)=aM(X)+bM(Y). Центрированная случайная величина и ее математическое ожидание.

3. Задача 1

4. Задача 2. Решить дифференциальное уравнение: y’ = x + y .

Экзаменационный билет№ 17

1. Метод неопределенных коэффициентов для нахождения частного решения линейного неоднородного дифференциального уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами с правой частью f(x) = . Примеры.

2. Непрерывные случайные величины. Определение функции распределения F(x) и плотности f((x), их свойства и графики. Нахождение вероятности попадания случайной величины в промежуток [a; b].

3.Задача 1. Дискретная случайная величина X задана законом распределения:

Xi	0,2	0,3	0,4	0,5
Рi	0,3	0,35	0,15	0,2

Найти М(X), D(X),  (X).

4.Задача 2. Решить дифференциальное уравнение: xy^’ + 4y + 4y =0.

Экзаменационный билет№ 18

1. Дифференциальное уравнение 2-го порядка, условия, при которых оно имеет решение. Метод понижение порядка в случае, когда уравнение не содержит y и y.Примеры.

2. Асимптотическая интегральная формула Муавра-Лапласа, условия ее применения. Интегральная функция Лапласа ее применение. Пример.

3. Задача 1. Дискретная случайная величина X задана законом распределения:

Xi	1	1,5	2	2,5
Рi	0,4	0,1	0,2	0,3

найти М(X), D(X),  (X).

4. Задача 2 Решить дифференциальное уравнение: y’ = e^y/x + (y/x).

Экзаменационный билет№ 19

1. Дифференциальное уравнение 2-го порядка, условия, при которых оно имеет решение. Метод понижение порядка в случае, когда уравнение не содержит явно переменную y. Примеры.

2. Пространство элементарных событий. Определение благоприятствующих случаев. Классическое определение вероятности случайного события и основные свойства вероятности.

3. Задача 1 . Производится стрельба из орудия по мишени до первого попадания. Вероятность попадания при первом выстреле равна 0,6, а при каждом следующем выстреле эта вероятность уменьшается на 0,1. Составить закон распределения случайной величины - числа израсходованных снарядов при 5 выстрелах. Найти математическое ожидание этой случайной величины.

4. Задача 2. Решить дифференциальное уравнение: 2y^’ + y = y³.