Упражнения 3

1. Пусть Вычислить значения:

2. Найти частные производные: a)

b) c)d) e)f)g)h) i) j) k) l)

3.Найти полные дифференциалы:

a)

b)

4. Найти экстремумы функций:

a) b)

c) d)

Дана функция z = x² – xy - y².Определить_хz,_уz,z, и вычислить их, еслиxизменяется от 2 до 2,1 иyизменяется от 2 до 1,9.

Глава 4. Функции комплексного переменного

§1. Определение и геометрическое и изображение

Пусть даны два множества D и E, элементами которых являются комплексные числа. Пусть числа z=x+iy множества D изображаются точками, лежащими в комплексной плоскости Z, содержащей множество D; и числа w= u+iv множества E изображаются точками комплексной плоскости W, содержащей множество E.

Определение 1. Если каждому числу (точке) zD по некоторому правилу поставлено в соответствие определенное число (точка) wE, то говорят, что определена однозначная функция комплексного переменного w = f (z) , отображающая множество D в E

v W

y Z

0 x 0 u

Рис.1

Множество D называется областью определения функции w=f(z), множество всех значений, которые функцияf(z) принимает на E, называется областью значений этой функции.

Если каждая точка E является значением функции, то эта функция отображает D на E.

Если каждому z  D соответствует несколько значений w, то функция w=f(z) называется многозначной.

Функция w=f(z) называется oднолистной, если она взаимно однозначно отображает область D на область  E (т.е. каждая точка z D имеет единственный образ w , и обратно, каждая точка w  имеет единственный прообраз z  D. Как правило, рассматриваются только такие функции, для которых D и E являются областями.

Определение 2.Областью комплексной плоскости называется множество точек плоскости, которое является открытым и связным (см. главу 3 §1).

Функцию w=f(z) можно записать в виде w= u+iv = f(x+iy), т.е.

f(x+iy) = u(x,y) + i∙v(x,y),

(1)

где u=u(x,y) = Re f(z), v = v(x,y) = Im f(z). При этом u(x,y) называется вещественной частью функции f(z), v(x,y) – мнимой. Таким образом, задание функции комплексного переменного равносильно заданию двух функций двух вещественных переменных.

Пример 1. Найти вещественную и мнимую части функции w = .

Решение. Эта функция записывается в виде u+iv = =

+i∙2xy. Отсюда u=, v = 2xy.

Пример 2. w = z ³. Эта функция записывается в виде u+iv = =

+ 3x = ( 3– Отсюда

u = , v = – .

Пример 3. w = e ^z. Здесь u+iv = ==(cos y + i∙sin y). Отсюда u = cos y, v = ∙sin y.

Задание функции w=f(z) как пары u = u(x, y), v = v(x, y) наводит на мысль изображать такую функцию как пару поверхностей u(x, y), v(x, y) в трёхмерном пространстве, однако этот способ неудобен, так как он не позволяет осмыслить пару (u, v) как комплексное число. Чаще всего берут координатные линии (декартовых или полярных координат) и находят их образы.

Пример 4. Рассматривается линейная функция

w = a∙z + b,

где a = a₁ + i∙a₂, b = b₁ + i∙b₂ - фиксированные комплексные числа, a₁, b₁ - их вещественные части, a₂, b₂ - их мнимые части. Эта функция представима в виде суперпозиции двух функций:

w₁ = a∙z и w = w₁ + b.

Первая функция является произведением комплексных чисел. Согласно свойствам тригонометрической форме комплексных чисел, при умножении a∙z модуль |z| умножается на |a| и к аргументу z прибавляется аргумент числа a. Вторая функция является сдвигом точки w₁ на вектор b = (b₁, b₂).

Таким образом, линейная функция w = a∙z + b растягивает (при |a| ≥ 1) каждый вектор, изображающий число z, в |a| раз ( или сжимает его в раз при |a | <1), еще поворачивает его на угол arg a и сдвигает на вектор b. Легко видеть, что в результате все прямые преобразуются в прямые, окружности - в окружности.

Пример 5. Рассматривается cтепенная функция w = z ². Исследуется случай, когда Im z >0. В тригонометрической форме при этом отображении аргумент z умножается на 2 и модуль |z| возводится в квадрат. Следовательно, полуокружность {|z| = r, 0 < arg z < π} переходит в окружность с выколотой точкой:

{|w| = r ², 0 < arg z < 2π}. Пусть отображается луч: луч {0 < |z| < ∞, arg z = }. Снова получается луч: {0 < |w| < ∞, arg w = 2}.         Теперь это отображение рассматривается в декартовых координатах.

В примере 1 было показано, что для функции w = z ² ее вещественная и мнимая части имеют вид:

u=, v = 2xy. (2)

Сначала находят образы координатных линий при данном отображении. Согласно (1) и (2), прямая y = y₀ перейдёт в кривую, параметрические уравнения которой имеют вид: u = x² – y₀², v = 2 xy₀ (где х - параметр).

Если исключить параметр х, то получится уравнение, которое в координптах (u,v) задает параболу: u =.

Аналогично луч {x = x₀, 0 < y < ∞} перейдёт в кривую, параметрические уравнения которой имеют вид: u = x₀² – y², v = 2 x₀ y (где параметр y>0).

Если исключить параметр у, то получается тоже уравнение ветви параболы:

u =.

В общем случае, если на плоскости (z) кривая G задана уравнением F(x,y)=0, то для нахождения уравнения этой кривой в плоскости (w), на которую функция w= f(z) = u(x,y)+iv(x,y) отображает кривую G, нужно исключить x, y из соотношений F(x,y)=0,

u=u(x,y),

v=v(x,y).

После чего по лучится уравнение вида Ф(u,v)=0 .

Если кривая G задана параметрически уравнениями

x=x(t), y=y(t), tTR, то параметрическими уравнениями образа будут

u=u(x(t),y(t)), v=v(x(t),y(t)), tTR.