Задачи на экстремум.

В таких задачах рассматриваются две переменные величины х и у, и требуется найти такое значение х, при котором значение у является наибольшим или наименьшим. Решение такой задачи содержит следующие шаги:

1. выбирают экстремальную величину y, максимум или минимум которой необходимо найти;

2. выбирают переменную х, и y выражается через х;

3. вычисляют производную у' и находят критические точки, в которых у' равна 0 или не существует;

4. исследуют критические точки на экстремум;

5. рассматривают значения y на концах, и вычисляют требуемую в задаче величину.

Пример 15. Экспериментально установлено, что расход бензина

у (л) на 100 км пути автомобилем ГАЗ-69 в зависимости от скорости х (км/ч) описывается функцией у = 18 0,3х + 0,003х². Определить наиболее экономичную скорость.

Решение. Здесь первые два шага 1) и 2) выполнены в условии задачи. Поэтому сразу вычисляют производную: у' = 0,3 +0,006х , и находят критическую точку: 0,3 + 0,006х = 0  х_о = 50 . Теперь, прменяют второе достаточное условие экстремума: у'' = 0,006 > 0 в любой точке, следовательно, х_о= 50  точка минимума. Вывод: наиболее экономичная скорость равна 50 км/ч, при этом расход бензина равен 18  0,350 + 0,00350² = 10,5 л. на 100 км.

Пример 16. Из квадратного листа картона со стороной 60 см вырезают по углам одинаковые квадраты и из оставшейся части склеивают прямоугольную коробку. Какова должна быть сторона вырезаемого квадрата, чтобы объем коробки был наибольшим.

Решение. Осуществляют указанные выше шаги решения задачи.

1). По условию объем коробки должен быть наибольшим, поэтому пусть y  объем коробки.

2). За х (см) берут сторону вырезаемого квадрата. Тогда высота коробки будет равна х и основанием коробки будет квадрат со стороной

(60 – 2х), его площадь равна (60 – 2х)². Следовательно, объем коробки равен y = х(60 – 2х)² = 3600х  240х² + 4х³ .

3). Вычисляют производную и находят критические точки: у' = 3600  480х + 12х²; х²  40х +300 = 0  х₁ х₂критические точки.

4). Производная 2-го порядка равна у'' =  480 + 24х и у''(10) = 240, у''(30) = 240. По теореме 8, х₁точка максимума и y_max = 400 (см³).

5). Кроме того, х может принять крайнее значение х₃ = 0. Но у(0) = 0  это меньше чем y_max.

Ответ: сторона вырезаемого квадрата равна 10 см.

§6. Вогнутость и точки перегиба

Термины выпуклое или вогнутое часто встречаются в разных разделах математики, Существует даже отдельный курс «выпуклое программирование», который рассматривает некоторые задачи нахождения оптимальных решений. Но в данном разделе рассматривается чисто геометрическое понятие вогнутости.

Определение 5. График функции y = f (x) называется вогнутым вверх на интервале (a; b), если он расположен выше касательной, проведенной в любой точке с абсциссой x, принадлежащей (a; b). График функции называется вогнутым вниз на интервале (a; b), если он расположен ниже касательной, проведенной в любой точке с абсциссой x, принадлежащей (a; b).

Следующие утверждения описывают основные условия вогнутости графика функции.

Теорема 9 (необходимое условие вогнутости).Пусть y = f(x) имеет производную второго порядка на интервале (a; b). Тогда:

а) если ее график вогнут вверх, то f (x)  0 на (a; b);

б) если ее график вогнут вниз, то f (x)  0 на (a; b).

Теорема 10 (достаточное условие вогнутости).Пусть y = f(x) имеет производную второго порядка на интервале (a; b). Тогда:

а) если f (x) > 0 на (a; b), то график y = f(x) вогнут вверх на (a; b);

б) если f (x) < 0 на (a; b), то график y = f(x) вогнут вниз на (a; b).