§1. Евклидово n-мерное пространство

Множество всевозможных упорядоченных n–ок вещественных чисел () называетсяn-мерным арифметическим пространством. Такие n–ки чисел называются точками этого пространства и обозначаются M(). Составляющие их числа называютсякоординатами точек.

Определение 1. Евклидовым n-мерным пространством , называется арифметическое пространство, в котором расстояние между двумя точками () и() определяется по формуле:

d(,) =

. (1)

Множество точек P пространства , удовлетворяющих условию d(,) < , где  - положительное число, называется -окрестностью точки , Пусть A - множество точек пространства , Точка называетсявнутренней точкой множества A, если она принадлежит A вместе с некоторой –окрестность этой точки. Множество A называется открытым, если все его точки внутренние.

Множество A называется связным, если любые две точки этого множества можно соединить ломанной линией, состоящей из точек этого множества Областью пространства называется открытое связное множествоA точек этого пространства.

Точка пространства называется граничной точкой области A, если в любой –окрестности точки имеются точки пространства , как принадлежащие A, так и не принедлежащие A. Совокупность всех граничных точек области A называется границей области A. Область A вместе со своей границей называется замкнутой областью, она обозначается.

Определение 2. Точкой сгущения или предельной точкой множества A называется точка P, в любой окрестности которой имеются точки, отличные от P и принадлежащие A. Каждая предельная точка множества A является либо внутренней точкой A, либо - её граничной точкой.

В этом разделе подробно рассматривается понятие функции двух независимых переменных. Однако все введенные понятия и полученные результаты могут быть соответственно обобщены на случай функций любого числа независимых переменных.

Пусть A есть область изменения независимых переменных x и y.

Определение 3. Переменная z называется функцией от переменных x и y на множестве A, если каждой паре чисел (x,y) из А соответствует определенное значение z,. Переменные x и y назаваются также аргументами функции z. Множество А пар чисел, на которых определены значения функции z называется областью определения z.

Например, областью определения функции z = ln(1 – x² – y²) является открытое плоское множество – внутренность круга, а для функции z = областью определения является замкнутое плоское множество – внутренность круга, включая его границу. Для обозначения функции используется запись z = f(x,y). Переменные x, y можно заменить обозначением точки P и писать z = f(P). Особенно это удобно, когда рассматриваются функции большого числа переменных.

Графиком функции z = f(x,y ) называется множество точек , удовлетворяющих равенству: z = f(x,y). Геометрически в трехмерном пространстве – это поверхность. Например, функции соответствует поверхность параболоида вращения.

Определение 4. Линией уровня функции z = f(x,y) называется множество точек М(х, у), в которых эта функция принимает постоянное значение. Такое множество является некоторой линией на плоскости, и ее уравнение имеет вид: f(x,y) = С, где С – некоторое число.

Пример 1.a). Даноf(x,y) =, вычислить:f(3,1) иf(1,2).

Решение. f(3,1) == 0,2;f(1,2) =неопределено.

b), Даноz= 4 -x² -y². Областью определения является вся плоскоть, и областью изменения - полусегмент (-; 4];

c). Даноz= . Областью определения является круг

, и областью изменения - сегмент [0; 3];

Примеры 2. Построить линии уровня: а) для z = x² – y, z = 0, 1;

b) для z = x² - y², z = 0, 1.

Решение: а) x² – y = 0 – парабола; x² – y =1- парабола;

b) x² - y² = 0 – две пересекающиеся прямые: y = x;

x² - y² =1 – гипербола.

Аналогично определяется функция трех переменных и соответствующие понятия.

Пусть функция z = f(x,y) определена в плоской области А и М₀ - точка сгущения множества А. Между точками на плоскости (и в евклидовом пространстве) определены расстояния: |M₁M₂| . Считается, что точка M стремится к точке M₀, (обозначение: M  M₀ ), если расстояние между этими точками стремится к 0, (в таких случаях говорят также, что |M₀M| есть бесконечно малая величина или |M₀M|  0).

Определение 5. Число b называется пределом функции z = f(M) при

М М₀, если разность | f(M) - b| есть бесконечно малая, когда М  М₀. Обозначение: = b.

В этом определении подразумевается, что точка М может стремиться к точке М₀ различными способами (например, по прямой линии или по некоторой кривой линии).

Определение 6. Функция z = f(M) называется непрерывной в точке М₀, если f(M) определена в некоторой окрестпости М₀ и выполняется

= f(M₀).

Функция z = f(x,y) называется непрерывной в области А, если она непрерывна в каждой точке этой области. Функция z = f(x,y) называется непрерывной в замкнутой области , если она непрерывна в каждой точке этой области, а в точках границы этой области имеет место непрерывность при условии, что точка М стремится к М₀, оставаясь внутри области А.

Определение 7. Величина называетсяприращение аргумента x в точке . Величина называется частным приращением по функцииz = f(x,y) в точке (,).

Величина называется приращение аргумента в точке. Величина называется частным приращением по функцииz = f(x,y) в точке (,).

Определение 8. Частной производной от функции z = f(x,y) по переменной x в (,) называется предел отношения к, когдастремится к 0, если этот предел существует:

обозначения: (,), ,,.

Частной производной от функции z = f(x,y) по переменной в точке(,) называется предел отношения к, когдастремится к 0, если этот предел существует.

обозначения: (,), , .

Пример 3. Вычислить частные производные функции z =x²y-3y²+5x.

Решение: a) при вычислениивычисляют обычную производную поx, считая y постоянной величиной, получается: =.

b) при вычислениивычисляют обычную производная поy, считая x постоянной величиной, получается: =.

Пример 4. Вычислить частные производные функции z =

Решение: a) при вычислениивычисляют обычную производную поx, считая y постоянной величиной, получается:: ==;

b) при вычислениивычисляют обычную производная поy, считая x постоянной величиной, получается: ==.

Рассматривается функция двух переменных z = f(x,y) и приращения аргументов: и .Полным приращением называется разность: z = f(x₀+x, y₀ +y) - f(x₀,y₀). Функция z = f(x,y)  называется дифференцируемой в точке (,), если в этой точке полное приращение можно представить в следующем виде z = + , гдеa, b - числа и обозначает бесконечно малую величину при  0, где  = . При этом величина [] называетсялинейной частью полного приращения относительно и .

_. Определение 9. Полным дифференциалом функции z = f(x,y) в точке (,) называется линейная часть полного приращения относительно приращений, . Обозначение: ,

Доказывается, что если функция z = f(x,y) имеет непрерывные частные производные, то ее полный дифференциал вычисляется по формуле:, где частные производные вычисляются в заданной точке. В частности, дифференциалы переменныхсовпадают со своими приращениями:. Поэтомузаписывают в виде:

При достаточно малом  = справедливо приближенное равенство  dz. Из этого равенства получается следующая формула, используемая для приближенного вычисления значения функции:

.

Пример 5. Найти полный дифференциал функции z

Решение. Вычисляют частные производные в точке (2;1):

==;=; тогда =∙0,1+= 0,075.

Пример 6. При деформации цилиндра, его радиус R увеличился с 2 до 2,05 дм. , а высота уменьшилась с 10 до 9,8 дм. Найти приближенное изменение объема цилиндра V по формуле  dV.

Решение. Объем цилиндра равен V = По условию ;= 0,05;= - 0,2.= 2RH = 40; = = 4.

Тогда dV = 40∙0,05+4∙(-0,2) = 1,2  3,768 дм³. 3,768 дм³

Определение 10. Частными производными второго порядка от функции z = f(x,y) называются частные производные от ее частных производных первого порядка. При этом возникают частные производные второго порядка отдельно по х (и отдельно по y ; а также две смешанные производные: (=(=.

Теорема 1. Если смешанные производные непрерывны в рассматриваемой точке, то они равны между собой: =.

Пример 7. Пусть z = y∙ln x.. Вычисляют,частные производные первого порядка: = и = ln x. Теперь производят повторное дифференцирование: =; = . Получились равные функции, что и утверждается в теореме 1.

Определение 11. Дифференциалом второго порядка от функции z = f(x,y) называется дифференциал от ее полного дифференциала, то есть

= d(dz).

Теорема 2. Если x и y – независимые переменные и функция f(x,y) имеет непрерывные частные производные второго порядка, то дифференциал второго порядка вычисляется по формуле = + 2+.

.