§2. Дифференциальные уравнения 2-го порядка

Дано дифференциальное уравнение 2–го порядка

(5)

. Начальные условия – это три числа , Функцияy=g(x) удовлетворяет начальным усдовиям , если выполняются равенства: и.

Задача Коши. Для данных начальных условий найти решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее этим условиям.

Теорема существования решения задачи Коши

Пусть В – трехмерная область , в которой правая часть и ее частные производныепо переменным

y ,непрерывны. Тогда для любой точкиизВ существует и притом единственное решение уравнения (5), удовлетворяющее начальным условиям.

Определение 5. Общим решением дифференциального уравнения 2-го порядка называется функция y = (x, ). вида (2), содержащая две константу ,которая при любых значениях,является решением данного уравнения и для любой точки из указанного множества В найдется значение константы ,при которых она удовлетворяет начальным условиям.

Методы понижения порядка.

1-й тип. Пусть дифференциальное уравнение имеет вид , т.е. правая часть не содержитy и . Такое уравнение решается двойным интегрированием: сначала находят, затем

Пример= cosx.

Решение. . Интегрируют последовательно два раза: 1).==sinx + ; 2).y=- cosx++.

2-й тип. Пусть дифференциальное уравнение имеет вид , т.е правая часть явно не содержитy. Такое уравнение решается заменой . Получается уравнение 1-го порядка относительно z:. Из него находят, затем находяту: .

3-й тип. Пусть дифференциальное уравнение имеет вид , т.е. правая часть явно не содержитx. решается заменой иПолучается дифференциальное уравнение 1-го порядка:

относительно z и y . Из него находят , затем находяту из дифференциально уравнения

Пример 5. Найти общее решение =y.

Решение. Это ДУ 2-го порядка. Для его интегрирования нужно понизить порядок уравнения. Делают замену: =z. При этом считают, что z является функцией от y. Тогда =∙=z∙. Это подставляют в исходное уравнение:z∙=y – это уравнение 1-го порядка с разделяющимися переменными. Разделяют переменные. zdz=ydy, интегрируют:==+z=

==+arcsin= x+

В следующих разделах вводятся основные понятия, связанные с линейными дифференциальными уравнениями. Для простоты изложения рассматриваются только уравнения 2-го порядка, но эти понятия легко переносятся на уравнения более высоких порядков.

§3. Линейные уравнения 2-го порядка

Общий вид линейных уравнений 2-го порядка:

у''+p(x)y'+q(x)y = f(x), (1)

где p(x), q(x), f(x) – функции от х .Согласно условиям существования решения задачи Коши для таких уравнений, принято считать, что функции p(x), q(x) , f(x) непрерывны в некотором интервале (a; b). Тогда это уравнение имеет общее решение у = . Если f(x)= 0, то (1) называется однородным. Но сначала рассматривается несколько важных утверждений об однородных уравнениях, поэтому их вид размещен отдельно.

у''+p(x)y'+q(x)y =0, (2)

Теорема 1. Если , решения уравнения (2), то любая линейная комбинация этих функций является решением (2).

Доказательство. Пусть выполняется условие теоремы, тогда выполняются следующие тождества: ''+p(x)'+q(x)( 0, ''+p(x)'+q(x)( 0.

Отсюда, согласно свойствам производных, легко следует, то линейная комбинация + удовлетворяет этому уравнению. Теорема доказана.

Определение 5. Функции и называются линено зависимыми на интервале (a, b), если их отношение на этом интервале равно постоянному числу: . В противном случае эти функции называются линейно независимыми на (a, b).

Например, (sin kx и cos mx) или пары линено независимых функций, если k  m.

Для описания некоторых свойств уравнений (1) вводится следующий определитель, называется определителем Вронского для функций и, и обозначается указанным способом.

= W(,).

Теорема 2. Если функции и линейно зависимые на интервале (a, b), то соответствующий им определитель Вронского равен 0 на этом интервале.

Доказательство. Пусть и удовлетворяют условию,

тогда на (a, b). Следовательно, W(,) = = 0, теорема доказана.

Теорема 3 (Лиувиля). Пусть функции ,являются решениями линейного однородного дифференциального уравнения (2) . ОпределительW() для этих функций либо отличен от 0 во всех точках интервала (a, b). либо он равен 0 во всех точках этого интервала.

Доказательство. Пусть удовлетворяют условию теоремы.Непосредственной подстановкой проверяется, что W() является решением следующего уравнения -p∙z = 0. Cледовательно, W() = С∙. Тогда при С = 0 W()= 0 во всех точках интервала (a, b). А если С  0, то W() отличен от 0 во всех точках интервала (a, b).Теорема доказана.

Далее, доказываеся следующее утверждение.

Теорема 4. Пусть удовлетворяют условию предыдущей теоремы. Тогда равенствоW()=0 является необходимым и достаточным условием линейной зависимости этих решений .

Доказательство этой теоремы не сложное, но оно использует большое количество мелких вспомогательных утверждений, и потому здесь не приводится. С помощью этой теоремы доказывают следующие важные следствия.

Следствие 1. Общее решение линейного однородного уравнения (2) имеет вид

,

где линейно независимые решения этого уравнения, и– произвольные постоянные.

Следствие 2. Пусть (1) - неоднородное уравнение и (2) получается из (1) заменой f(x) на 0, тогда общее решение уравнения (1) имеет вид +,

где - общее решение (2) и- частное решение (1).

Далее, методы решения линейных уравнений рассматривают на примере уравнений вида (1), когда его коэффициенты являются постоянными числами. Для этого сначала описывают специальный метод построения линено независимых решений однородных уравнений с постоянными коэффициентами. Пусть дано уравнение вида (2) с постоянными коэффициентами:

у''+py'+qy =0, (3)

Решение ищут в виде: у=е^кх, где k – параметр. Тогда

у' = ke^kx, у'' = k²e^kx . При подстановке в (3), получают равенство:

(к²+ pк +q) е^кх= 0. В этом равенстве е^кх  0, поэтому к²+pк+q=0. Это так называемое, характеристическое уравнение. С помощью его корней строят решения исходного (3).

Случай 1. Пусть D=>0, тогда корник₁ и к₂ - вещественные и различные: к_1,2 = -p/2 . Следовательно, ,являются линейно независимыми решениями (3) и, по следствию 1,общее решение имеет вид: = .

Случай 2. Пусть D= 0, тогда корни равные: к₁ = к₂ = - p/2. В этом случае полагают: , и = - общее решение (1).

Случай 3. Пусть D < 0, тогда корни комплексные: к_1,2 =i. В этом случае полагают у₁=и у₂=и = .

Пример 6. Решить уравнение у''-5у'+6у=0.

Решение. Составляют характеристическое уравнение: к²-5к+6=0.

Находят его корни: к₁=2, к₂=3. Тогда , являются линейно независимыми решениями иобщее решение имеет вид: = .

Пример 7. Решить уравнение у''- 12у' + 144у = 0.

Решение: Составляют характеристическое уравнение: к²-12к+144=0. к₁=к₂=12. Следовательно, , , и = - общее решение.

Пример 8. Решить уравнение у'' - 6у' + 25у=0.

Решение: Составляют характеристическое уравнение: к² - 6к + 25 = 0. Находят D = - 16 < 0, корни комплексные: k_1,2 = = 3  4i. Тогда

Общее решение: = е ^3х(С₁cos4x +C₂sin4x).