§3. Системы линейных уравнений

Определение 9. Системой линейных уравнений называется набор уравнений следующего вида:

+ + ... +=b₁,

+ + ... +=b₂,

 .............................................. (3)

+ + ...+ _n = b_m,

где а_ij  числовые коэффициенты, b_i свободные члены, х_j  неизвестные, i = 1,…, m, j = 1,…, n.

Отличительная черта линейных систем в том, что к неизвестным применяются только линейные операции  алгебраическое сложение и умножение на число. Решением системы (3) называется упорядоченный набор значений неизвестных (х₁, х₂, ... , х_n), при подстановке которых в каждое уравнение получаются верные равенства. Система, имеющая хотя бы одно решение, называется совместной; система, не имеющая решений, называется несовместной; система, имеющая единственное решение, называется определенной; система, имеющая более одного решения, называется неопределенной. Если в системе (3) все свободные члены равны нулю, то она называется однородной. Системы, имеющие одинаковые множества решений, называются равносильными. Для обозначения равносильных систем используются символы  или .

Пример 17.Выяснить, какой набор чисел (1; 2; 7) или (3; 1; 0) является решением системы:

Решение. Нужно подставить каждую тройку чисел вместо x, y, z в эти уравнения:

1) 2)

Ответ: (1; -2; 7) не является решением,

(3; 1; 0) является решением.

Замечание 2. Системы двух уравнений с двумя неизвестными имеют вид:

а₁₁х₁ + а₁₂х₂ = b₁,

а₂₁х₁ + а₂₂х₂ = b₂.

При решении такой системы можно использовать следующие формулы:

при условии, что .

Для перехода к матричной записи системы (3) вводятся обозначения:

А – матрица коэффициентов при неизвестных, Х – столбец неизвестных,

В – столбец свободных членов:

Тогда (3) записывается в следующей матричной форме

(4)

Первый метод решения систем (3) называется методом Крамера, но он применяется только кквадратнымсистемам, в которых число уравнений равно числу неизвестных:

а₁₁х₁ + а₁₂х₂ + ... + а_1nх_n = b₁,

а₂₁х₁ + а₂₂х₂ + ... + а_2nх_n = b₂,

 ........................................... (5)

а_n1х₁ + а_n2х₂ + ... + а_nnх_n = b_n.

Теорема Крамера. Пусть А – матрица коэффициентов в квадратной системе (5), Аопределитель, А и для каждого i = 1,2, …, n, _i  вспомогательные определители, получаемые из А путем замены i-го столбца на столбец свободных членов:

_i =i = 1, ... , n.

Тогда: 1) если определитель не равен нулю, то система (5) имеет единственное решение, которое находится по следующим формулам

(6)

2) Если определитель а равен нулю и хотя бы один из I отличен от нуля, то система (5) не имеет решений;