§3. Бесконечные величины и предел функции

Определение 8. Пусть в некотором процессе наблюдается переменная величина х, зна­чения которой становятся сколь угодно малыми по абсолютной величине, т. е. для любого малого положительного числа а наступает момент, начиная с которого все значения х становятся меньше, чем а по абсо­лютной величине: |х| < a . Такая величина х называется бесконечно малой величиной, при этом говорят также, что х стремится к нулю, и используют за­пись х  0.

Определение 9. Пусть b  некоторое число, х  переменная величина и разность (х  b) есть бесконечно малая величина (в рассматриваемом процессе), тогда говорят, что х стремится к b или b есть предел х, при этом используют записи:

х  b или lim x = b. Если х  b и х > b, то говорят, что х стремится к b справа, и пишут х b + 0. Если х b и х < b, то говорят, что х стремится к b слева, и пишут х b 0.

Определение 10. Пусть в некотором процессе значения переменной величины Х стано­вятся сколь угодно большими по абсолютной величине, т. е. для любого по­ложительного числа А наступает момент в этом процессе, начиная с которого все значения Х становятся больше, чем А по абсолютной величине, т. е. | Х | >A . Такая величина Х называется бесконечно большой величиной, при этом говорят также, что Х стремится к бесконечности и используют запись Х  Если Х  и Х > 0, то говорят, что Х неограниченно возрастает, и пишут Х  если Х  и Х < 0, то говорят, что Х неограниченно убы­вает, и пишут Х 

Пусть символы 0, а, обозначают бесконечно малую, ограниченную и

бесконечно большую величины, соответственно. Тогда свойства бесконечных величин описываются следующими символическими равенствами:

Теперь, пусть +0, 0, +обозначают соответственно положительные и отрицательные бесконечно малые и бесконечно большие величины, и а  по­ложительная ограниченная величина. Тогда выполняются дополнительные свойства:

Кроме того, некоторые свойства бесконечных величин указаны выше, как свойства показательной и логарифмической функций:

4). Если а > 1, то а^  , а^  log_a = , log_a(+0) = .

5). Если 0 < а <1, то а^ +, а^   log_a = , log_a(+0) = .

Следующие действия над бесконечными величинами не попали в рас­смотренные пункты 1) 5).

Они образуют так называемые неопределенности. С помощью теории пределов в каждом конкретном случае эти неопреде­ленности получают некоторые значения. Нахождение этих значений называется раскрытием неопределенностей.

Определение 11. Пусть функция f(x) определена в окрестности точки а и х  а. Тогда пределом функции f(x) при х  а называется постоянное число b такое, что разность f(x) – b есть бесконечно малая величина при х  а, обо­значение:

Свойства пределов

1). Если предел функции существует, то он единственный.

2). Предел постоянной функции равен значению этой функции:

lim с = с.

3). Предел суммы функций равен сумме пределов этих функций:

lim(f(x) + g(x)) = limf(x) + limg(x).

4). Постоянный множитель можно выносить за знак предела:

lim (сf(x)) = сlimf(x).

5). Предел произведения функций равен произведению пределов функций:

lim(f(x)  g(x)) = limf(x)  limg(x).

6). Предел отношения функций равен отношению пределов функций:

lim(f(x) : g(x)) = limf(x) : limg(x).

При этом подразумевается, что в пунктах 3) – 6) пределы, стоящие в правой части, существуют, и в пункте 6 предел знаменателя не равен 0.

7). Если в некоторой окрестности точки а для все х, кроме, быть может, х = а, функции f(x) и g(x) равны и существует lim g(x) при х  а, то сущест­вует limf(x) при х  а, и эти пределы равны между собой:

8). Если функцияf(x)монотонно возрастает прих аи ограничена, то она имеет пределпри х  а.

В следующих примерах показано применение этих свойств, при вычислении пределов.

Пример 9. Вычислить пределы.

Но сразу сокращать на (х  4) нельзя, сначала избавляют от иррациональности в числителе. Для этого числитель умножают на сопряженное иррациональное выражение, и чтобы дробь не изменилась, знаменатель тоже умножают на это выражение.

Здесь х  , поэтому числитель и знаменатель делят почленно на старшую степень х, затем применяют свойство: 1/  = 0.