Предел и непрерывность функции комплексного переменного

           Пусть функция w = f(z) определена в некоторой окрестности точки z₀=, исключая, быть может, саму z₀. Под -окрестностью точки z₀ в комплексной плоскости понимается внутренность круга радиуса  с центром в точке z₀.

Определение 3. Комплексное число w₀ = u₀ + iv₀ называется пределом функции f(z) при z → z₀, если для любой ε-окрестности U точки w₀ найдётся такая δ-окрестность S точки z₀, что для всех zS значения f(z) принадлежат U. Записывают .

Из определения следует, что если предел существует, то существуют следующие пределы и выполняются равенства:

Верно и обратное утверждение.  Поэтому в комплексный анализ автоматически переносятся все теоремы о пределах функции в точке (предел суммы функций и т.д.).

Определение 4. Пусть функция w = f(z) определена в окрестности точки z₀=. Функция называетсянепрерывной в точке z₀, если существует

и этот предел равен f(). Как и в случае предела, можно показать, что w = f(z) будет непрерывной в точке =тогда и только тогда, когда функцииинепрерывны в точке (). Поэтому на функции комплексного переменного переносятся все основные теоремы о непрерывности функций.

§2. Элементарные функции комплексного переменного

В этом разделе определяются основные функции комплексного переменного, даны примеры их значений и указаны некоторые свойства.

Определение 5. Показательная функция w= определяется соотношением

w= = .

Примеры. 1)=1; 2) =-1; 3). =-1 ; 4) = cos(-) + isin(-)= -i.=2(cos+isin)2i.

=cos +isin-i.

Выполняются обычные свойства.

1). ∙= .

Доказательство.∙= ∙∙(cos( = , что и требовалось доказать.

2). =

Доказательство.=

= .

Совершенно необычное свойство.

3) w= имеет период Т=2i.

Доказательство. = = ∙(cos2 +isin2) =, что и требовалось доказать.

Определение 6. Логарифмическая функция. Эта функция определяется, как обратная к комплексной показательной функции. Тогда число w является комплексным логарифмом числа z, если Пусть этот логарифм обозначается: Ln z= w. Нужно выразить вещественную и мнимую части. Пусть w=u+iv, и пусть число z в показательной форме имеет вид . Тогда, верно равенство: =. Отсюда получается:(т.е.u=ln|z|); и ,k=0,1,2,…,

Следовательно, w = Ln z является многозначной функцией:

Ln z =ln|z| + i, k=0,1,2,…,

Значение при k=0 называется главным: lnz=ln|z| + i∙arg z.

Свойства обычные. 1). Ln( = Ln; 2). Ln( = Ln;3). Ln= n∙Lnz; 4). Ln=.

Примеры 6. Найти общие и главные значения логарифмов:

1). Ln(-1) = ln1+i+2ki= i+2ki; ln(-1) = i;

2) Ln(2i) = ln2 + I + 2ki; ln(2i) = ln2 + i;

3) Ln(-1- i) = ln +i(-+ 2ki= - i +2k; ln(-1- i) = - i

Определение 7. Тригонометрические функции определются равенствами:

sin z = ; cos z = ; z =;

tg z = ; ctgz =.

Примеры 7. Необычные значения для мнимых аргументов.

1) 2)3)

Но для вещественных аргументов z эти формулы приводят к обычным тригонометрическим функциям. Например, для z=x+0i:

sin z = = = =sinx.

Также верно, что эти функции сохрпняют многие свойства тригонометрических функций вещественного переменного.

 Определение 8. Общая показательная функция определяется соотношением

= ;

Определение 9. Общая степенная функция определяется соотношением:

= ,

(здесь z, a - произвольные комплексные числа, z ≠ 0, a = const).

Эти функции бесконечнозначны.

Пример 8. , где .