Свойства векторного произведения

1. =  (антикоммутативность)

2. ( =  + . (дистрибутивность)

3. Постоянный множитель можно выносить за знак векторного произведения: (k) = k ().

4. При векторном умножении ортов ,,используют схему, основанную на следующей записи:

+

i j ki j.



Произведение любых смежных векторов (слева направо) в этой последовательности дает следующий вектор со знаком +, а произведение в обратном направлении (справа налево) дает следующий вектор со знаком . Например: Кроме того,ii =0, jj =0, kk =0.

5. Используя предыдущие формулы и выражение (20), показывается,

что через координаты векторов векторное произведение вычисляется по формуле:

6. Если векторы и параллельны, то sin = 0, поэтому векторы параллельны тогда и только тогда, когда их векторное произведение равно0. Определители 2-го порядка, указанные в свойстве 5, равны нулю, если их строки пропорциональные. Тогда сформулированное здесь свойство запишется в виде:

(условие параллельности)

Пример 21. Раскрыть скобки и упростить выражения:

а) х =j (i – k) +k  (j +i) –k  (i –j +k);

б) у = 3j(i k) + 2 k (i j) – 5i (j k).

Решение. а). Согласно свойствам 1, 2, раскрывают скобки и применяют свойство 5: х =

б). Сначала выполняют действия в скобках, затем выполняют скалярное произведение: у = 3j(j) + 2 kk – 5ii =  3 + 2 – 5 = 6.

Пример 22. Вычислить площадь треугольника с вершинами А(4; 3; 7), В(6; 0; 1), С(2; 5; 4).

Решение. Площадь данного треугольника равна половине площади параллелограмма, построенного на векторах и , как на сторонах. Согласно геометрическому смыслу векторного произведения, эта площадь равна половине модуля векторного произведения этих векторов: S_ABC = 0,5| |.

Здесь = {2;3; 6}, = { 6; 2; 3}. Тогда

Получается: S_ABC = 0,5|| = 0,5∙=0,5∙49 = 24,5.

Определение 19. Смешанным произведением векторов а,b ис называется выражение вида (а b ) с. Обозначение: ( ).

Геометрический смысл: абсолютная величина смешанного произведения ( )| равна объему параллелепипеда, построенного на векторах , , как на сторонах.

В декартовых координатах смешанное произведение векторов , вычисляется через определитель матрицы, составленной из их координат:

( ).=

Определение 20. Векторы , называются компланарными, если они лежат в одной плоскости или параллельны одной плоскости.

Условие компланарности векторов.

Теорема 13. Векторы а,b,с компланарны тогда и только тогда, когда ( ) = 0.

Пример 23. Проверить, лежат ли точки A(2; 1; 2), B(1; 2; 1), C(0; 3; 2), D(6; 0; 5) в одной плоскости?

Решение. Эти точки лежат в одной плоскости только в случае, когда векторы ,,компланарны. Здесь = {1 + 2; 2 +1; 1– 2} = {3;3; 1}, = {0 + 2; 3 + 1; 2  2} = { 2; 4; 0}, = {6 + 2; 0 +1; 5 – 2} = {4;1; 3}. Теперь проверяется условие компланарности.

() =

Вывод: эти точки лежат в одной плоскости.