§2.Стандартные поверхности 2-го порядка

§3. Поверхности вращения

Можно также заметить, что поверхности 2-го порядка получаются путем вращения кривых линий 1-го и 2-го порядков вокруг осей координат. В следующей таблице указаны правила построения таких поверхностей вращения.

Пусть линия L задана уравнением указанным в первом столбце, и она вращается вокруг соответствующей оси координат. Тогда в третьем столбце указан вид соотведствующей поверхности вращения.

Таблица 1.

Уравнение линии L	Ось вращения	Уравнение поверхности вращения
	OX
	OY
	OX
	OZ
	OY
	OZ

Пример 4. Написать уравнение поверхности, образованной вращением линии а) : вокруг осиOZ;

б) линии z = x вокруг оси OZ; построить эти поверхности.

Решение. а). Используется правило из 6-й строки таблицы. В уравнении переменнаяу заменяется на , получается уравнениеилиЭто эллиптический параболоид (см. выше поверхность 5).

б). Используется правило из 4-й строки таблицы. В уравнении x переменная x заменяется на , получается уравнениеz=илиЭто конус (см. выше поверхность 4).

Упражнения 3

1. Найти центр и радиус сферы

1) 2)

2. Построить поверхности: 1)

4)

3. Написать уравнение цилиндрической поверхности с направляющей и образующими, параллельными вектору {1; 1; 1}.

4. Написать уравнение цилиндрической поверхности с направляющей и образующими, параллельными вектору {3; 2; 1}.

5. Написать уравнение поверхности, образованной вращением линии :а) вокруг оси OZ; б) вокруг оси OХ; построить эти поверхности.

6. Написать уравнение поверхности, образованной вращением линии :а) вокруг оси OZ; б) вокруг оси OХ; построить эти поверхности.

7. Построить поверхность и найти площади ее сечений плоскостями: а)z = 3; б) у = 1.

Глава 4. Комплексные числа

§1. Алгебраическая форма комплексного числа

Определение 1. Комплексным числом называется упорядоченная пара вещественных чисел (a, b), записанная в форме a +i∙b, где +, ∙ - символы сложения и умножения, а i - новый объект, называемый "мнимая единица", для которого при вычислениях предполагается: = -1,,= 1 и т.д.          Первая компонента a комплексного числа z= a +i∙b, называется его вещественной частью, это обозначается так: a = Re z; вторая компонента b называется мнимой частью и обозначается b = Im z. Запись a +i∙b называется алгебраической формой комплексного числа.         Определение 2. Два комплексных числа z₁ = a₁ + i∙b₁ и z₂ = a₂ + i∙b₂ равны тогда и только тогда, когда равны их действительные и мнимые части:

z₁ = z₂  (a₁ = a₂)(b₁ = b₂).

Кроме того, для комплексных чисел определены специальные операции суммы z_1 z₂ и произведения z_1 z₂.

Определение 3. Суммой z_1 z₂ комплексных чисел z₁ = a₁ + i∙b₁ и z₂ = a₂ + i∙b₂ называется комплексное число, определяемое соотношением

z_1 z₂ = (a₁ + a₂) + i∙(b₁ + b₂).

Определение 4. Произведением z_1 z₂ называется комплексное число, определяемое соотношением

z_1 z₂ = (a_1∙a₂ - b_1∙b₂) + i∙(a_1∙b₂ + a_2∙b₁)

Пример 1. Вычислить ==.

Множество комплексных чисел неупорядочено, т.е. для комплексных чсел не вводятся отношения "больше" или "меньше".

Пример 2. Выполнить действия: ==

Комплексные числа можно делить на любое комплексное число, отличное от . В алгебраической форме операция деления=осуществляется по следующему правилу. Числитель и знаменатель умножают на число, сопряжённое знаменателю, полученное выражение приводят к комплексному виду:

Пример 3. Вычислить ===.

Здесь можно заметить, что для комплексного числа=, отличного от нуля, следующее комплексное число=-i∙ является обратным, т.е. ∙=. Например,=(. Тогда указанное выше частное равно (4 - 3i) (=(4∙+i(-4∙= (. Верно.

Вещественные числа можно считать частным случаем комплексных чисел. Например, каждое вещественное число a можно отождествлять с комплексным числом a+ i∙0. Пусть для краткости обозначает число a+i∙0, тогда, числа иявляются комплексными «нулем» и «единицей» и для них легко проверяется выполнение основных свойств 0 и 1, например, таких, как:z  =z; z  =;z  =z. Более того, все утверждения о вещественных числах, в которых используются только свойства операций сложения и умножения, распространяются и на комплексные числа. В частности, можно вводить матрицы и определители с комплексными числами, определять обратные матрицы, строить линейные уравнения с комплексными коэффициентами и системы таких уравнений. При этом для них будут выполняться все утверждения, рассматриваемые в главе линейная алгебра.

Но самое важное свойство комплексных чисел – это введение мнимой единицы i . В связи с этим произошло существенное расширение поля вещественных чисел, это расширение стало алгебраически замкнутым, это следует из теоремы Даламбера: Любой полином c комплексными коэффициентами степени n1 имеет, по крайней мере, один корень.

Её доказательство обычно приводится в курсах теории функций комплексного переменного. В свою очередь введение комплексных чисел, позволяет решать некоторые чисто алгебраические проблемы. Примером такого утверждения является рассматриваемая ниже теорема 3.

Определение 5. Число = a i∙b. называется числом, сопряжённым к

z = a+i∙b.

Теорема 1. Произведение сопряжённых чисел z∙ равно |z|².

Доказательство. По определению, (a + ib)∙( a - ib) = (a∙a+b∙b)+i(a∙b - b∙a) = =. Теорема доказана. Теорема 2. а). =+;

б). =∙ .

Доказательство. Пусть z₁ = a₁ + i∙b₁ и z₂ = a₂ + i∙b₂. Тогда = (a₁ + a₂)  i(b₁ + b₂) = (a₁  ib₁) + ( a₂  ib₂) = +,и часть а) доказана. Далее, = (a₁a₂  b₁b₂) i∙(a₁b₂ + a₂b₁). С другой стороны, ∙ = (a₁ i∙b₁)∙( a₂  i∙b₂) = (a₁a₂ – b₁b₂) + i∙(a₁(- b₂) + a₂(b₁)) = (a₁a₂ - b₁b₂) - i∙(a₁b₂ + a₂b₁). Следовательно, часть б) доказана. Теорема доказана.

Следствие 1. Пусть P(z), = +…++– полином относительно комплексной переменной z с вещественными коэффициентами. Тогда если комплексное число  является корнем P(z), то сопряженное число также является корнемP(z), т.е.

P() = 0  P() = 0

Доказательство. Пусть P(z) удовлетворяет условию и  – корень P(z). Тогда P() = + …++= 0. Согласно теореме 6, выполняется равенство:= + … ++. По условию, коэффициенты многочленаP(z) являются вещественными числами, поэтому =и, следовательно, =P(), и согласно выбору числа, P() = 0. Следствие доказано.

В следующем разделе рассматривается широко известная теорема Безу, из которой следует, что если число является корнем полиномаP(z), то P(z) делится на двучлен (z - ) без остатка. По основной теореме алгебры, каждый полином степени n имеет n корней, следовательно, этот полином представим в виде следующего произведения a(z-) (z-)∙… (z-), гдеего корни. Если корень- вещественный, то множитель (z -) является полиномом с вещественным. Если=a+ib – комплексный корень, то сопряженное число

- тоже корень этого полинома. Следовательно, P(z) делится на произведение: (z  ) (z - ) =. Это полином вида, гдеp, q – вещественные числа. Следовательно, доказана сдедующая теорема:

Теорема 3. Любой полином с вещественными коэффициентами представим в виде произведения полиномов вида и, гдеa, p, q – вещественные числа.