- •В.А.Ганов учебно-методический комплекс
- •280700.62 «Техносферная безопасность»
- •Оглавление
- •Пояснительная записка
- •1). Цели и задачи дисциплины, ее место в учебном процессе
- •2). Общие пояснения
- •2.Основные требования государственного образовательного стандарта
- •3.2. Содержание учебной дисциплины
- •4. Разделы учебной дисциплины, виды учебной деятельности и формы контроля
- •5. Самостоятельная работа студента
- •5.1. График самостоятельной работы студента
- •6. Оценочные средства для контроля успеваемости ирезультатов освоения учебной дисциплины
- •7.Литература
- •2.5.1. Основная литература
- •7. Материально-техническое обеспечение учебной дисциплины
- •2.6.1. Требования к аудиториям (помещениям, местам) для проведения занятий:
- •7.2. Требования к оборудованию рабочих мест преподавателя и обучающихся:
- •8.Тематический план (распределение часов курса по темам и видам работ):
- •1 Семестр
- •2 Семестр
- •3 Семестр
- •7. Учебно-методическая (технологическая) карта дисциплины.
- •1 Семестр
- •7. Учебно-методическая (технологическая) карта дисциплины.
- •2 Семестр
- •7. Учебно-методическая (технологическая) карта дисциплины.
- •3 Семестр
- •10.Контрольные задания и тесты
- •Вариант 2.
- •13.Какой из следующих определителей не равен нулю?
- •Вариант 2
- •Вариант 19
- •Вариант 22
- •Вариант 23
- •Вариант 24
- •Вариант 27
- •Утверждаю: Зав. Кафедрой_________________
- •11.1. Вопросы к экзамену по дисциплине «Высшая математика»,
- •8.1.2.Экзаменационные билеты по высшей математике
- •11.2.Экзаменационные вопросы
- •11.2.Экзаменационные билеты (2-й семестр)
- •8.3.1.Экзаменационные вопросы
- •8.3.2.Экзаменационные билеты по высшей математике 3-й семестр
- •Учебные пособия
- •Оглавление
- •Глава 1. Элементы линейной алгебры
- •§1. Числовые матрицы и определители
- •Основные свойства матриц
- •Основные свойства определителей
- •§2. Обратная матрица
- •§3. Системы линейных уравнений
- •2) Если определитель а равен нулю и хотя бы один из I отличен от нуля, то система (5) не имеет решений;
- •3) Если определитель а и все вспомогательные определители I равны нулю, то система (5) имеет бесконечное множество решений.
- •1) Если в (7) нет противоречий и число уравнений равно числу неизвестных, то система (3) имеет единственное решение;
- •2) Если (7) содержит противоречие, то система (3) не имеет решений;
- •3) Если в (7) нет противоречий, но число уравнений меньше числа неизвестных, то система (3) имеет бесконечное множество решений.
- •§4. Ранг матрицы и неопределенные системы
- •Упражнения 1
- •Глава 2. Аналитическая геометрия
- •§1. Декартова система координат
- •§2. Уравнение прямой линии на плоскости
- •§3. Кривые линий второго порядка
- •§4. Декартовы координаты и векторы в пространстве
- •2). Координаты точки деления отрезка в заданном отношении вычисляют по формулам:
- •§5. Скалярное произведение векторов
- •Свойства скалярного произведения
- •§6. Векторное и смешанное произведения
- •Свойства векторного произведения
- •§7. Плоскость и прямая линия в пространстве
- •2).Условие параллельности плоскостей:
- •Основное правило 1.
- •2).Условие параллельности прямых:
- •Основное правило 2.
- •Упражнения 2
- •Глава 3. Поверхности второго порядка
- •§1.Сферические, цилиндрические и конические поверхности
- •Частные случаи.
- •§2.Стандартные поверхности 2-го порядка
- •§3. Поверхности вращения
- •Упражнения 3
- •Глава 4. Комплексные числа
- •§1. Алгебраическая форма комплексного числа
- •§2. Тригонометрическая форма комплексного числа
- •Упражнения 4
- •Глава 5. Разложение рациональных дробей
- •Правило разложения правильной вещественной дроби на простейшие дроби.
- •Глава 6. Введение в математический анализ
- •§1. Числовые функции
- •§2. Простейшие функции
- •Основные свойства степеней
- •Основные свойства логарифмов
- •6. Тригонометрические функции.
- •Обратные тригонометрические функции.
- •§3. Бесконечные величины и предел функции
- •Свойства пределов
- •Первый замечательный предел
- •Второй замечательный предел
- •Теперь исходный предел равен: §4. Непрерывные функции
- •3) F(X) принимает на [a; b] все промежуточные значения между своими наименьшим и наибольшим значениями.
- •Упражнения 4
- •Упражнения 5
- •Библиографический список
- •Часть 2
- •Глава 1. Дифференциальное исчисление………………………………………………….5
- •§1. Производная функции одной переменной
- •Правила дифференцирования
- •§2. Задачи, приводящие к понятию производной функци
- •§4. Основные теоремы о дифференцируемых функциях
- •§5. Исследование функций на монотонность и экстремум
- •Задачи на экстремум.
- •§6. Вогнутость и точки перегиба
- •Определение 6.Точки, в которых график функции меняет направление вогнутости называютсяточками перегиба.
- •Упражнения 1
- •Ответы к упражнениям 1
- •Глава 2. Интегральное исчисление
- •§1. Неопределенный интеграл
- •Правила интегрирования
- •Основные свойства неопределенных интегралов
- •§2. Методы интегрирования
- •3.Интегрирования по частям. Пусть u и V - дифференцируемые функции от х, тогда верно равенство
- •5. Интегрирование некоторых тригонометрических функций.
- •§3. Определенный интеграл
- •Свойства определенного интеграла
- •§4.Приложения определенных интегралов
- •1.Вычисление площади плоской фигуры, ограниченной линиями
- •§5. Несобственные интегралы
- •Упражнения 2
- •Ответы к упражнениям 2
- •Глава 3. Функции нескольких переменных
- •§1. Евклидово n-мерное пространство
- •§2. Экстремумы функций двух переменных
- •§3. Метод наименьших квадратов
- •Упражнения 3
- •Глава 4. Функции комплексного переменного
- •§1. Определение и геометрическое и изображение
- •Предел и непрерывность функции комплексного переменного
- •§2. Элементарные функции комплексного переменного
- •§3. Дифференцирование
- •Другие свойства
- •Геометрический смысл производной
- •Глава 5. Дифференциальные уравнения
- •§1. Дифференциальные уравнения 1-го порядка
- •Теорема о существовании решения задачи Коши
- •Методы интегрирования дифференциальных уравнений
- •§2. Дифференциальные уравнения 2-го порядка
- •Теорема существования решения задачи Коши
- •Методы понижения порядка.
- •§3. Линейные уравнения 2-го порядка
- •§4. Линейные уравнения с постоянными коэффициентами
- •Упражнения 5
- •Глава 8.Элементы теории вероятностей
- •§1.Определение вероятности и ее свойства
- •Свойства вероятности
- •§2. Повторные независимые испытания
- •§3. Случайные величины
- •Основные свойства функции распределения f(X)
- •Основные свойства плотности распределения f(X)
- •Свойства математического ожидания
- •Свойства дисперсии
- •Основные виды распределений
- •§4. Закон больших чисел
- •Приложение 1.Элементы комбинаторики Основные правила комбинаторики
- •Простейшие соединения
- •Упражнения 7
- •Упражнение 8
- •Библиографический список
- •Приложение 2. Математико-статистические таблицы
- •Глава 8. Введение в математическую статистику
- •§1. Выборочный метод
- •Основные виды распределений
- •Упражнение 8
§2.Стандартные поверхности 2-го порядка
§3. Поверхности вращения
Можно также заметить, что поверхности 2-го порядка получаются путем вращения кривых линий 1-го и 2-го порядков вокруг осей координат. В следующей таблице указаны правила построения таких поверхностей вращения.
Пусть линия L задана уравнением указанным в первом столбце, и она вращается вокруг соответствующей оси координат. Тогда в третьем столбце указан вид соотведствующей поверхности вращения.
Таблица 1.
Уравнение линии L |
Ось вращения |
Уравнение поверхности вращения |
OX | ||
OY | ||
OX | ||
OZ | ||
OY | ||
OZ |
Пример 4. Написать уравнение поверхности, образованной вращением линии а) : вокруг осиOZ;
б) линии z = x вокруг оси OZ; построить эти поверхности.
Решение. а). Используется правило из 6-й строки таблицы. В уравнении переменнаяу заменяется на , получается уравнениеилиЭто эллиптический параболоид (см. выше поверхность 5).
б). Используется правило из 4-й строки таблицы. В уравнении x переменная x заменяется на , получается уравнениеz=илиЭто конус (см. выше поверхность 4).
Упражнения 3
Найти центр и радиус сферы
1) 2)
2. Построить поверхности: 1)
4)
3. Написать уравнение цилиндрической поверхности с направляющей и образующими, параллельными вектору {1; 1; 1}.
4. Написать уравнение цилиндрической поверхности с направляющей и образующими, параллельными вектору {3; 2; 1}.
5. Написать уравнение поверхности, образованной вращением линии :а) вокруг оси OZ; б) вокруг оси OХ; построить эти поверхности.
6. Написать уравнение поверхности, образованной вращением линии :а) вокруг оси OZ; б) вокруг оси OХ; построить эти поверхности.
7. Построить поверхность и найти площади ее сечений плоскостями: а)z = 3; б) у = 1.
Глава 4. Комплексные числа
§1. Алгебраическая форма комплексного числа
Определение 1. Комплексным числом называется упорядоченная пара вещественных чисел (a, b), записанная в форме a +i∙b, где +, ∙ - символы сложения и умножения, а i - новый объект, называемый "мнимая единица", для которого при вычислениях предполагается: = -1,,= 1 и т.д. Первая компонента a комплексного числа z= a +i∙b, называется его вещественной частью, это обозначается так: a = Re z; вторая компонента b называется мнимой частью и обозначается b = Im z. Запись a +i∙b называется алгебраической формой комплексного числа. Определение 2. Два комплексных числа z1 = a1 + i∙b1 и z2 = a2 + i∙b2 равны тогда и только тогда, когда равны их действительные и мнимые части:
z1 = z2 (a1 = a2)(b1 = b2).
Кроме того, для комплексных чисел определены специальные операции суммы z1 z2 и произведения z1 z2.
Определение 3. Суммой z1 z2 комплексных чисел z1 = a1 + i∙b1 и z2 = a2 + i∙b2 называется комплексное число, определяемое соотношением
z1 z2 = (a1 + a2) + i∙(b1 + b2).
Определение 4. Произведением z1 z2 называется комплексное число, определяемое соотношением
z1 z2 = (a1∙a2 - b1∙b2) + i∙(a1∙b2 + a2∙b1)
Пример 1. Вычислить ==.
Множество комплексных чисел неупорядочено, т.е. для комплексных чсел не вводятся отношения "больше" или "меньше".
Пример 2. Выполнить действия: ==
Комплексные числа можно делить на любое комплексное число, отличное от . В алгебраической форме операция деления=осуществляется по следующему правилу. Числитель и знаменатель умножают на число, сопряжённое знаменателю, полученное выражение приводят к комплексному виду:
Пример 3. Вычислить ===.
Здесь можно заметить, что для комплексного числа=, отличного от нуля, следующее комплексное число=-i∙ является обратным, т.е. ∙=. Например,=(. Тогда указанное выше частное равно (4 - 3i) (=(4∙+i(-4∙= (. Верно.
Вещественные числа можно считать частным случаем комплексных чисел. Например, каждое вещественное число a можно отождествлять с комплексным числом a+ i∙0. Пусть для краткости обозначает число a+i∙0, тогда, числа иявляются комплексными «нулем» и «единицей» и для них легко проверяется выполнение основных свойств 0 и 1, например, таких, как:z =z; z =;z =z. Более того, все утверждения о вещественных числах, в которых используются только свойства операций сложения и умножения, распространяются и на комплексные числа. В частности, можно вводить матрицы и определители с комплексными числами, определять обратные матрицы, строить линейные уравнения с комплексными коэффициентами и системы таких уравнений. При этом для них будут выполняться все утверждения, рассматриваемые в главе линейная алгебра.
Но самое важное свойство комплексных чисел – это введение мнимой единицы i . В связи с этим произошло существенное расширение поля вещественных чисел, это расширение стало алгебраически замкнутым, это следует из теоремы Даламбера: Любой полином c комплексными коэффициентами степени n1 имеет, по крайней мере, один корень.
Её доказательство обычно приводится в курсах теории функций комплексного переменного. В свою очередь введение комплексных чисел, позволяет решать некоторые чисто алгебраические проблемы. Примером такого утверждения является рассматриваемая ниже теорема 3.
Определение 5. Число = a i∙b. называется числом, сопряжённым к
z = a+i∙b.
Теорема 1. Произведение сопряжённых чисел z∙ равно |z|2.
Доказательство. По определению, (a + ib)∙( a - ib) = (a∙a+b∙b)+i(a∙b - b∙a) = =. Теорема доказана. Теорема 2. а). =+;
б). =∙ .
Доказательство. Пусть z1 = a1 + i∙b1 и z2 = a2 + i∙b2. Тогда = (a1 + a2) i(b1 + b2) = (a1 ib1) + ( a2 ib2) = +,и часть а) доказана. Далее, = (a1a2 b1b2) i∙(a1b2 + a2b1). С другой стороны, ∙ = (a1 i∙b1)∙( a2 i∙b2) = (a1a2 – b1b2) + i∙(a1(- b2) + a2(b1)) = (a1a2 - b1b2) - i∙(a1b2 + a2b1). Следовательно, часть б) доказана. Теорема доказана.
Следствие 1. Пусть P(z), = +…++– полином относительно комплексной переменной z с вещественными коэффициентами. Тогда если комплексное число является корнем P(z), то сопряженное число также является корнемP(z), т.е.
P() = 0 P() = 0
Доказательство. Пусть P(z) удовлетворяет условию и – корень P(z). Тогда P() = + …++= 0. Согласно теореме 6, выполняется равенство:= + … ++. По условию, коэффициенты многочленаP(z) являются вещественными числами, поэтому =и, следовательно, =P(), и согласно выбору числа, P() = 0. Следствие доказано.
В следующем разделе рассматривается широко известная теорема Безу, из которой следует, что если число является корнем полиномаP(z), то P(z) делится на двучлен (z - ) без остатка. По основной теореме алгебры, каждый полином степени n имеет n корней, следовательно, этот полином представим в виде следующего произведения a(z-) (z-)∙… (z-), гдеего корни. Если корень- вещественный, то множитель (z -) является полиномом с вещественным. Если=a+ib – комплексный корень, то сопряженное число
- тоже корень этого полинома. Следовательно, P(z) делится на произведение: (z ) (z - ) =. Это полином вида, гдеp, q – вещественные числа. Следовательно, доказана сдедующая теорема:
Теорема 3. Любой полином с вещественными коэффициентами представим в виде произведения полиномов вида и, гдеa, p, q – вещественные числа.