§2. Методы интегрирования
1.
Метод введения нового аргумента.
Если
,
то
.
Более того, если функцияu
=
(x)
- непрерывно
дифференцируемая функция, то du=
,
и в таких случаях допуска.тся записи
вида:
f((x))d(x)=
F((x))+c.
Примеры 4. Найти интегралы.
1). (1 + х)4 dx.
Решение.Ясно, что dx = d(x +1), поэтому пусть u = (x +1), тогда
=
(1
+ х)4
d(х
+1) =
u4
du
=
+с
=
+с.
2). 2х(х2 +1)3 dx.
Решение.Здесь d(x2 +1) = 2xdx, поэтому пусть u = (x2 +1), тогда
Решение.
Здесь
d(x2
+3х-5)
= (2x
+
3)dx,
поэтому пусть
u
= (x2
+3х-5),
тогда
2.
Метод
подстановки.
Пусть
функция
x
монотонна
и непрерывно дифференцируема в интервале
(;
),
и функция
f(x)
непрерывна
в интервале
(а;
b),
где
а
= (),
b
= ().
Тогда
верна формула
f(x)dx
=
f(
∙
dt. (3)
Примеры 5. Найти следующие интегралы.
1). е-3х dx.
Решение.
Этот интеграл сводится к табличному
интегралу 3 заменой: -3х=t.
Отсюдах = -
,х
= (-
)=
-
.
Тогда, по формуле (3), данный интеграл
равенеt(-
)
dt= (-
)еt
+c. Теперь,
делается обратная заменаt
на –3х, и получается:
= -
е
-3х
+c.
Решение.Делают
замену: 2х - 1=t, отсюда:х =
,dx =
dt,
тогда
Решение. Делают замену: ln x = t, отсюда x = et, dx = etdt. Тогда
4).
Выделяют полный квадрат в знаменателе: х2 +4х+3 = (х2 +4х+4) - 1
=
(х
+
2)2
-1.
Делают замену: (х
+ 2)
=
t,
отсюда dx
=
dt
и
х2
+
4х+3
=
t2
-
1.
3.Интегрирования по частям. Пусть u и V - дифференцируемые функции от х, тогда верно равенство
u dv = u v - v du . (4)
Пример 6. Найти интеграл хln(x +1) dх.
Решение.Применяют интегрирование по частям.
хln(x
+1)
Пусть u
=
ln(x
+1)
и dv
=
хdх,
тогда
du=
=(ln(x
+1))dх
=
dх
и
v
=
dv
=
хdх
=
.
Теперь,
по фоормуле (4):
хln(x
+1)
dх
=
ln(x
+1)∙
-
∙
dх
=
Интегрирование по частям применяется в случаях, когда подынтегральная функция является произведением алгебраической и трансцендентной функций, например, в интеграле хnехdх в качестве u нужно принять хn, и тогда dv = ехdх. Таким же методом вычисляются интегрлы вида хnsinxdх и хncosx dх. А, например, в интегралах вида хlnxdх или хarcsin xdх в качестве u нужно принять lnx или arcsin x, и тогда dv = xdх.
Пример 7. Найти интеграл х е2х dх.
Решение. Применяется метод интегрирования по частям.
х
е2х
dх
Пусть u
=
x
и
dv
=
е2х
dх,
тогда 
du=
=
=dх
и
v
=
dv
=
е2х
dх
= 
е-2х.
Теперь,
по фоормуле (4):
= х(-
)е-2х
-
(-
)е2х
dх
=
-
хе2х
-
+
е2х
+
с.
Интегрирование рациональных функции.
Следующие
функции называются простейшими
рациональными дробями:
Интегрирование таких функций осуществляется следующим образом.
1).
2).
3).
Сначала
выделяют полный квадрат в знаменателе;
делается
замена:
,
отсюда
Тогда
где
=
б).
Случай D0
и интеграл
были
подробно рассмотрены в первом издании
настоящего пособия.
Примеры 8. Найти следующие интегралы.
1).
2).
=
3).
Здесь
E=
.
Так
как D
< 0, то
+
11
