- •В.А.Ганов учебно-методический комплекс
- •280700.62 «Техносферная безопасность»
- •Оглавление
- •Пояснительная записка
- •1). Цели и задачи дисциплины, ее место в учебном процессе
- •2). Общие пояснения
- •2.Основные требования государственного образовательного стандарта
- •3.2. Содержание учебной дисциплины
- •4. Разделы учебной дисциплины, виды учебной деятельности и формы контроля
- •5. Самостоятельная работа студента
- •5.1. График самостоятельной работы студента
- •6. Оценочные средства для контроля успеваемости ирезультатов освоения учебной дисциплины
- •7.Литература
- •2.5.1. Основная литература
- •7. Материально-техническое обеспечение учебной дисциплины
- •2.6.1. Требования к аудиториям (помещениям, местам) для проведения занятий:
- •7.2. Требования к оборудованию рабочих мест преподавателя и обучающихся:
- •8.Тематический план (распределение часов курса по темам и видам работ):
- •1 Семестр
- •2 Семестр
- •3 Семестр
- •7. Учебно-методическая (технологическая) карта дисциплины.
- •1 Семестр
- •7. Учебно-методическая (технологическая) карта дисциплины.
- •2 Семестр
- •7. Учебно-методическая (технологическая) карта дисциплины.
- •3 Семестр
- •10.Контрольные задания и тесты
- •Вариант 2.
- •13.Какой из следующих определителей не равен нулю?
- •Вариант 2
- •Вариант 19
- •Вариант 22
- •Вариант 23
- •Вариант 24
- •Вариант 27
- •Утверждаю: Зав. Кафедрой_________________
- •11.1. Вопросы к экзамену по дисциплине «Высшая математика»,
- •8.1.2.Экзаменационные билеты по высшей математике
- •11.2.Экзаменационные вопросы
- •11.2.Экзаменационные билеты (2-й семестр)
- •8.3.1.Экзаменационные вопросы
- •8.3.2.Экзаменационные билеты по высшей математике 3-й семестр
- •Учебные пособия
- •Оглавление
- •Глава 1. Элементы линейной алгебры
- •§1. Числовые матрицы и определители
- •Основные свойства матриц
- •Основные свойства определителей
- •§2. Обратная матрица
- •§3. Системы линейных уравнений
- •2) Если определитель а равен нулю и хотя бы один из I отличен от нуля, то система (5) не имеет решений;
- •3) Если определитель а и все вспомогательные определители I равны нулю, то система (5) имеет бесконечное множество решений.
- •1) Если в (7) нет противоречий и число уравнений равно числу неизвестных, то система (3) имеет единственное решение;
- •2) Если (7) содержит противоречие, то система (3) не имеет решений;
- •3) Если в (7) нет противоречий, но число уравнений меньше числа неизвестных, то система (3) имеет бесконечное множество решений.
- •§4. Ранг матрицы и неопределенные системы
- •Упражнения 1
- •Глава 2. Аналитическая геометрия
- •§1. Декартова система координат
- •§2. Уравнение прямой линии на плоскости
- •§3. Кривые линий второго порядка
- •§4. Декартовы координаты и векторы в пространстве
- •2). Координаты точки деления отрезка в заданном отношении вычисляют по формулам:
- •§5. Скалярное произведение векторов
- •Свойства скалярного произведения
- •§6. Векторное и смешанное произведения
- •Свойства векторного произведения
- •§7. Плоскость и прямая линия в пространстве
- •2).Условие параллельности плоскостей:
- •Основное правило 1.
- •2).Условие параллельности прямых:
- •Основное правило 2.
- •Упражнения 2
- •Глава 3. Поверхности второго порядка
- •§1.Сферические, цилиндрические и конические поверхности
- •Частные случаи.
- •§2.Стандартные поверхности 2-го порядка
- •§3. Поверхности вращения
- •Упражнения 3
- •Глава 4. Комплексные числа
- •§1. Алгебраическая форма комплексного числа
- •§2. Тригонометрическая форма комплексного числа
- •Упражнения 4
- •Глава 5. Разложение рациональных дробей
- •Правило разложения правильной вещественной дроби на простейшие дроби.
- •Глава 6. Введение в математический анализ
- •§1. Числовые функции
- •§2. Простейшие функции
- •Основные свойства степеней
- •Основные свойства логарифмов
- •6. Тригонометрические функции.
- •Обратные тригонометрические функции.
- •§3. Бесконечные величины и предел функции
- •Свойства пределов
- •Первый замечательный предел
- •Второй замечательный предел
- •Теперь исходный предел равен: §4. Непрерывные функции
- •3) F(X) принимает на [a; b] все промежуточные значения между своими наименьшим и наибольшим значениями.
- •Упражнения 4
- •Упражнения 5
- •Библиографический список
- •Часть 2
- •Глава 1. Дифференциальное исчисление………………………………………………….5
- •§1. Производная функции одной переменной
- •Правила дифференцирования
- •§2. Задачи, приводящие к понятию производной функци
- •§4. Основные теоремы о дифференцируемых функциях
- •§5. Исследование функций на монотонность и экстремум
- •Задачи на экстремум.
- •§6. Вогнутость и точки перегиба
- •Определение 6.Точки, в которых график функции меняет направление вогнутости называютсяточками перегиба.
- •Упражнения 1
- •Ответы к упражнениям 1
- •Глава 2. Интегральное исчисление
- •§1. Неопределенный интеграл
- •Правила интегрирования
- •Основные свойства неопределенных интегралов
- •§2. Методы интегрирования
- •3.Интегрирования по частям. Пусть u и V - дифференцируемые функции от х, тогда верно равенство
- •5. Интегрирование некоторых тригонометрических функций.
- •§3. Определенный интеграл
- •Свойства определенного интеграла
- •§4.Приложения определенных интегралов
- •1.Вычисление площади плоской фигуры, ограниченной линиями
- •§5. Несобственные интегралы
- •Упражнения 2
- •Ответы к упражнениям 2
- •Глава 3. Функции нескольких переменных
- •§1. Евклидово n-мерное пространство
- •§2. Экстремумы функций двух переменных
- •§3. Метод наименьших квадратов
- •Упражнения 3
- •Глава 4. Функции комплексного переменного
- •§1. Определение и геометрическое и изображение
- •Предел и непрерывность функции комплексного переменного
- •§2. Элементарные функции комплексного переменного
- •§3. Дифференцирование
- •Другие свойства
- •Геометрический смысл производной
- •Глава 5. Дифференциальные уравнения
- •§1. Дифференциальные уравнения 1-го порядка
- •Теорема о существовании решения задачи Коши
- •Методы интегрирования дифференциальных уравнений
- •§2. Дифференциальные уравнения 2-го порядка
- •Теорема существования решения задачи Коши
- •Методы понижения порядка.
- •§3. Линейные уравнения 2-го порядка
- •§4. Линейные уравнения с постоянными коэффициентами
- •Упражнения 5
- •Глава 8.Элементы теории вероятностей
- •§1.Определение вероятности и ее свойства
- •Свойства вероятности
- •§2. Повторные независимые испытания
- •§3. Случайные величины
- •Основные свойства функции распределения f(X)
- •Основные свойства плотности распределения f(X)
- •Свойства математического ожидания
- •Свойства дисперсии
- •Основные виды распределений
- •§4. Закон больших чисел
- •Приложение 1.Элементы комбинаторики Основные правила комбинаторики
- •Простейшие соединения
- •Упражнения 7
- •Упражнение 8
- •Библиографический список
- •Приложение 2. Математико-статистические таблицы
- •Глава 8. Введение в математическую статистику
- •§1. Выборочный метод
- •Основные виды распределений
- •Упражнение 8
11.2.Экзаменационные билеты (2-й семестр)
ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЙ БИЛЕТ № 1
1. Общая схема исследования функции и построения ее графика.
2. Несобственные интегралы, их виды и условия их сходимости.
3. Вычислить интеграл:
4.Доказать периодичность показательной функции комплексного переменного w = c периодом Т=2i.
ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЙ БИЛЕТ № 2
по ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ (2-й семестр).
1. Частные приращения и определение частных производных 1-го порядка. Их свойства.
2. Интегрирование тригонометрических функций с помощью тригонометрических формул..
3. Вычислить интеграл:
4. Вычислить: 1) .
ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЙ БИЛЕТ № 3
1. Уравнение поверхности. Линия уровня. Касательная плоскость к поверхности, условия ее существования и уравнение.
2. Вычисление площадей плоских фигур, ограниченных линиями.
3. Вычислить интеграл:
4.Вычислить:.
ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЙ БИЛЕТ № 4.
1. Комплексная плоскость. Комплексные числа. Показательная функция комплексного переменного приz=x+iy, ее простейшие свойства и ее периодичность.
2. Первообразная функции и ее свойства. Общий вид первообразной функции одной переменной.
3. Вычислить интеграл:
4. Показать, что функция z = y/(x2 y2) удовлетворяет уравнению
ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЙ БИЛЕТ № 5
1. Достаточные условия экстремума функции одной переменной.
2. Комплексная плоскость. Комплексные числи. Понятие степенной функции комплексного переменного . Ее многозначность и формула для её вычисления приz=x+iy, a=i.
3. Вычислить интеграл:
4. Показать, что функция z =(1/x)sin(x y) удовлетворяет уравнению
ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЙ БИЛЕТ № 6
1. Теорема Ролля о корнях производной, ее геометрический смысл.
2. Экстремум функции двух переменных, его необходимые и достаточные условия существования.
3. Вычислить интеграл:
4. Вычислить: .
ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЙ БИЛЕТ № 7
1. Неопределенный интеграл и его свойства.
2. Метод наименьших квадратов. Его применение для построения прямой линии регрессии
по экспериментальным данным.
3. Вычислить интеграл:
4. Дана функция: z = yx - y2 - x - 6y. Исследовать ее на экстремум.
ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЙ БИЛЕТ № 8
1. Производная сложной функции одной переменной.
2. Комплексная плоскость. Комплексные числа. Понятие логарифмической функции комплексного переменного Ln z. Её многозначность и формула для вычисления при z=x+iy.
3. Вычислить интеграл:
4. . Дана функция: z = (х 1)2 + 2y2. Исследовать ее на экстремум.
ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЙ БИЛЕТ № 9
1.Приращение и дифференциал функции одной переменной, их связь.
2. Интегрирование методом по частям для неопределенного интеграла.
3. Вычислить интеграл:
4. Пусть между X и Y существует зависимость Y = aX + b. С помощью МНК на основе следующих данных: а) найти параметры a, b; б) определить Y для Х = 15; в) сделать чертеж
X |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
8 |
10 |
10 |
11 |
11 |
Y |
3 |
3 |
4 |
6 |
5 |
6 |
8 |
9 |
7 |
9 |
ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЙ БИЛЕТ № 10
1. Производная функции, заданной в неявном виде
2. Интегрирование методом подстановки для неопределенного интеграла.
3. Вычислить интеграл:
4. Пусть между X и Y существует зависимость Y = aX + b. С помощью МНК на основе следующих данных: а) найти параметры a, b; б) определить Y для Х = 15; в) сделать чертеж
X |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
Y |
5 |
13 |
8 |
10 |
13 |
12 |
11 |
17 |
19 |
21 |
ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЙ БИЛЕТ № 11
1. Доказать свойство показательной функции комплексного переменного: =.
2. Определение производной функции одной переменной и ее геометрический смысл. Уравнение касательной к графику функции.
3. Вычислить
4. Составить уравнение касательной к кривой у = (2х 7)/(х 3) , перпендикулярной прямой 2х + 2у - 5 = 0.
ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЙ БИЛЕТ № 12
1.Экстремумы функций двух переменных. Необходимые и достаточные условия экстремума.
2.Формула Ньютона – Лейбница (без доказательства). Проверить свойства определенного интеграла с помощью этой формулы.
3. Вычислить интеграл:
4. Доказать свойство показательной функции комплексного переменного:
ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЙ БИЛЕТ № 13
1. Интегрирование методом подстановки для определенного интеграла.
2. Функция комплексного переменного sin z. Формула для ее вычисления при z=x+iy.
3. Вычислить интеграл:
4. Написать уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности:
x2 + y2 - 5z в точке М0(-3, 1, 2).
ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЙ БИЛЕТ № 14
1. Понятие вогнутости графика функции. Необходимые и достаточные условия вогнутости.
2. Определение определенного интеграла через интегральные суммы, его геометрический смысл и свойства.
3. Дана функция: z = х2 - хy + y2- 2x - y . Исследовать ее на экстремум.
4. Вычислить:
ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЙ БИЛЕТ № 15
1. Теорема Лагранжа, ее геометрический смысл.
2. Основные табличные интегралы. Метод интегрирования разложением.
3. Вычислить интеграл:
4. Вычислить: .
ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЙ БИЛЕТ № 16
1.Определение производной функции одной переменной, ее физический смысл, связь со скоростью и ускорением движения.
2. Метод наименьших квадратов. Его применение для построения прямой линии регрессии
по экспериментальным данным.
3. Вычислить интеграл:
4.Вычислить: .
ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЙ БИЛЕТ № 17
1. Частные производные высших порядков. Смешанные производные 2-го порядка, условия их равенства.
2. Интегрирование тригонометрических функций с помощью тригонометрических преобразований формул
3. Вычислить интеграл:
4. Вычислить: 1), .
Утверждаю: зав.кафедрой алгебры и матлогики ___________
ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЙ БИЛЕТ № 18
1. Частные приращения . функции двух переменных. Частные производные и их свойства.
2. Вычисление объемов тел вращения вокруг осей координат.
3. Вычислить интеграл:
4. Вычислить: .
Утверждаю: зав.кафедрой алгебры и матлогики ___________
ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЙ БИЛЕТ № 19
1.Комплексная плоскость, комплексные числа. Функция комплексного переменного cos z. Формула для ее вычисления.
2. Вычисление площадей плоских фигур с помощью определенных интегралов.
3. Вычислить интеграл:
4. Вычислить: 1). .
Утверждаю: зав. кафедрой алгебры и матлогики ___________
ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЙ БИЛЕТ № 20
1. Необходимое и достаточное условия экстремума функции двух переменных.
2. Дана функция: у = 2х4 4х2 + 2. Исследовать ее на симметрию, монотонность, вогнутость, найти точки экстремума, перегиба, и построить график.
3. Вычислить интеграл:
4. Вычислить:
ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЙ БИЛЕТ № 21
1. Метод интегрирования по частям для определенного интеграла.
2. Производная функции комплексного переменного f (z)=u(z)+iv(z), где z=x+iy , ее определение, условия существования и формулы для вычисления.
3. Вычислить интеграл:
4. Дана функция: z = 1 + 6х -х2 - xy - y2 . Исследовать ее на экстремум.
ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЙ БИЛЕТ № 22
1. Определение производной функции одной переменной, ее свойства: производная постоянной функции и производные суммы, произведения и частного функций.
2. Интегрирование простейших и сложных рациональных функций.
3. Вычислить интеграл:
4. Дана функция: z = х2 - xy - y2 + 9x -6y-+20 . Исследовать ее на экстремум.
ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЙ БИЛЕТ № 23
1. Необходимые условия монотонности функции одной переменной.
2. Первообразная функции , ее свойства и общий вид. Неопределенный интеграл и его свойства.
3. Вычислить интеграл:
4.Вычислить: 1). .
ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЙ БИЛЕТ № 24
1. Достаточные условия монотонности функции одной переменной..
2. Интегрирование методом подстановки для определенного интеграла.
3. Вычислить интеграл:
4. Вычислить: .
ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЙ БИЛЕТ № 25
1. Достаточные условия экстремума функции одной переменной.
2. Доказать свойство показательной функции комплексного переменного:
3. Вычислить интеграл:
4.Написать уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности:
3x2 + 3y2 - z2 = 10 в точке М0(-1, 1, 2).
ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЙ БИЛЕТ № 21
1. Метод интегрирования по частям для определенного интеграла.
2. Производная функции комплексного переменного f (z)=u(z)+iv(z), где z=x+iy , ее определение, условия существования и формулы для вычисления.
3. Вычислить интеграл:
4. Дана функция: z = 1 + 6х -х2 - xy - y2 . Исследовать ее на экстремум.
ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЙ БИЛЕТ № 26
1. Определение производной функции одной переменной, ее свойства: производная постоянной функции и производные суммы, произведения и частного функций.
2. Интегрирование простейших и сложных рациональных функций.
3. Вычислить интеграл:
4. Дана функция: z = х2 - xy - y2 + 9x -6y-+20 . Исследовать ее на экстремум.
ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЙ БИЛЕТ № 27
1. Необходимые условия монотонности функции одной переменной.
2. Первообразная функции , ее свойства и общий вид. Неопределенный интеграл и его свойства.
3. Вычислить интеграл:
4.Вычислить: 1). .
3-й семестр