Глава 1. Дифференциальное исчисление………………………………………………….5

§1. Производная функции одной переменной……………………………….5

§2. Задачи, приводящие к понятию производной функции……………11

§3. Основные теоремы о дифференцируемых функциях………………18

§4. Исследование функций на монотонность и экстремум……………20

§5. Вогнутость и точки перегиба……………………. ………………………………27

ГЛАВА 2. Интегральное исчисление………………………………………………………….37

§1. Неопределённый интеграл………………………………………………………38

§2. Методы интегрирования………………………………………………………….43

§3. Определенный интеграл……………………………………………………………49

§4. Приложения определенного интеграла……………………………………54

§5. Несобственные интегралы……………………………………………………….58

ГЛАВА 3. Функции нескольких переменных……………………….……………………61

§1. Евклидово n-мерное пространство……………………………………………63

§2. Экстремумы функций двух переменных…………………………………70

§3. Метод наименьших квадратов …………………………………………………72

ГЛАВА 4. Функции комплексного переменного………….……………………………76

§1. Определение и геометрическое и изображение……………………76

§2. Элементарные функции комплексного переменного………………81

§3. Дифференцирование…………………………………………………………………84

ГЛАВА 5. Дифференциальные уравнения…………………………………………………88

§1. Уравнения 1-го порядка……………………………………………………………89

§2. Дифференциальные уравнения 2-го порядка…………………………95

§3. Линейные уравнения 2-го порядка…………………………………………98

§4.Линейные уравнения с постоянными коэффициентами ………102

ГЛАВА 6. Элементы теории вероятностей……….……………………………107 §1.Определение вероятности и ее свойстыва…………………….107

§2. Повторные независимые испытания……………………………114

§3. Случайные величины……………………………………………………120

§4. Закон больших чисел……………………………………………………132

ПРИЛОЖЕНИЕ 1. Элементы комбинаторики…………………………………137 ПРИЛОЖЕНИЕ 2. Математико-статистические таблицы……………..144

Библиографический список………………………………………………………….145

ГЛАВА 1. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

Важнейшим понятием современной математики является понятие производной функции. Оно возникло как результат многовековых усилий, направленных на решение задачи о касательной к графику функций, о поиске экстемумов функции, о мгновенной скорости неравномерного движени, и на решение некоторых других задач. Эти задачи интересовали математиков с давних времён, и накопившийся в этом направлении обширный материал получил теоретическое завершение лишь в конце XVII века в трудах Ньютона и Лейбница.

§1. Производная функции одной переменной

Пусть функция у = f(x) определена во всех точках некоторого интервала (а; b) и точка х_о принадлежит этому интервалу. Пусть х  другая точка из (а; b), тогда разность х = х  х_о называется приращением аргумента x и разность у = f(x) f(x_o) называется приращением функции f(x), соответствующим приращению х.

Определение 1. Производной функции у = f(x) в точке х_о называется предел отношения у к х, когда х стремится к нулю, если этот предел существует, обозначение: .

Пример 1. Вычислить производную функции у = х³ в точке х_о = 2.

Решение. По условию, х = х 2, у = х³ 2³ и х  0. Тогда = = ,x2 и = = 12.Следовательно, .

Пример 2. Вычислить производную функции у = lnx в точке х_о.

Решение. По условию, х = (х  х_о) и у = (lnx  ln х_о). Последнее выражение преобразовывается следующим образом. у  ln(х_о +x)  ln = , Отсюда =. Пусть, тогда=∙, и0 при х0. Отсюда, по второму замечательному пределу, следует: ==. Таким образом, = , и при произвольномx верна формула . Специальными методами доказываются формулы из следующих таблиц.