Основные свойства функции распределения f(X)

1). F(x) - ограниченная: 0 £ F(x) £ 1.

2). F(x) – неубывающая:

3). ,.

4). F(x) - непрерывная слева: .

Основные свойства плотности распределения f(X)

1). f(x) - неотрицательная: 0 £ f(x). (См. рис. 3).

2).

3). ,.

Теорема 1. Вероятность того, что случайная величина Х принимает значения в промежутке [a; b] вычисляется по формулам:

(см.рис. 3).

Пример 20.Законы распределения случайных величин Х и Y имеют вид:

Х	-1	1	2		Y	-1	0	1
Р	0,3	0,2	p		Р	0,5	0,1	q

а). Найти пропущенные вероятности р и q;

б). Построить закон распределения случайной величины Z = 2Х – 3Y.

Y X	-1	0	1
-1	1 0,15	-2 0,03	-5 0,12
1	5 0,10	2 0,02	-1 0,08
2	7 0,25	4 0,05	1 0,20

Решение. Сумма всех вероятностей в каждой таблице равна 1, поэтому р= 0,5, q = 0,4. Для построения закона распределения Z строится расчетная следующая таблица.

В крайних рядах записаны возможные значения величин X и Y, во внутренних клетка указаны соответствующие значения Z и вероятности этих значений. Например, Х = -1 с вероятностью 0,5 и Y = -1 с вероятностью 0,3, тогда в первой клетке записывается значение Z = 2·(-1)- 3·(-1) = 1 и вероятность этого значения р = 0,5·0,3 = 0,15. Получилось, что Z принимает по одному разу значения -5, -2, -1, 2, 4, 5, 7 с вероятностями 0,12, 0,03, 0,08, 0,02, 0,05, 0,10, 0,25, соответственно, и два раза Z = 1 с вероятностями 0,15 и 0,20. Тогда P(Z = 1) = 0,35, и закон распределения Z имеет вид:

Z	-5	-2	-1	1	2	4	5	7
Р	0,12	0,03	0,08	0,35	0,02	0,05	0,10	0,25

Определение 4. Математическое ожидание случайной величины Х - это постоянное число, вокруг которого Х принимает свои значения и имеет наименьшее суммарное отклонение от него; обозначение: М(Х) .

Говорят также, что математическое ожидание М(Х) - это центр группирования значений случайной величины Х. В случае дискретной случайной величины М(Х) находится по формуле:

М(Х) = х₁∙р₁ + х₂∙р₂ + ... + х_к∙р_к

(6)

Если Х – непрерывная случайная величина, то М(Х) вычисляется по (7)

М(Х) =

(7)

Свойства математического ожидания

1. Математическое ожидание постоянной величины равно этой величине: М(С) = С.

2. Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания: М(с∙Х) = с∙М(Х).

3. Математическое ожидание суммы случайных величин равно сумме их математических ожиданий: М(Х + Y) = М(Х) + М(Y).

4. Если Х, Yнезависимые случайные величины, то математическое ожидание их произведений равно произведению их математических ожиданий: М(Х∙Y) = М(Х)∙М(Y).

Определение 5. Величина (Х-М(Х)) называется центрированной случайной величиной для Х.

3. Математическое ожидание центрированной случайной величины равно 0.

Определение 6. Дисперсия случайной величины Х - это математическое ожидание квадрата центрированной случайной величины, обозначение: D(Х).

D(Х) = М(Х - М(Х))².

(8)

Дисперсия означает рассеяние и характеризует отклонение Х от ее математического ожидания: чем дальше и чаще Х отклоняется от М(Х), тем больше дисперсия, и наоборот. Идеальный случай наступает, когда Х – постоянная величина, т.е. Х не имеет отклонений от М(Х), тогда дисперсия равна 0. Вычисление дисперсии осуществляется по следующей формуле, которая читается:

D(Х) = М(Х²) - М²(Х)

«мат квадрата минус квадрат мата» (9)

Определение 7. (X) =–среднее квадратическое отклонение.

Это ьолее удобная характеристика рассеяния случайной величины.