Упражнения 1

1. Найти производные функций.

1). y = x⁵; 2). y = 0,25x⁴  x³ + 0,5x²  2; 3). y = x(x + 2);

4). y = 2x^4  5x^2; 5). y = 3x^2  4x^1; 6). y = 0,75xx;

7). y = 6x^4/3 ; 8). y = 2x³ + 3x⁵; 9). y = (4x-2) ^. (x²+3x-2);

10). y = (4x² + 4x +1) ^. (4x – x²); 11). e^x. ln x; 12). y = x^2. ln x;

13). y = x^4. 2^x; 14). y = 3x³lnx x³; 15). y = (x² +2x + 2)^. e^x;

20). y = ln²x ; 21). y = (x +1)⁴; 22). y = (1 x²)⁵; 23). y = ln(x² – 2x);

2. Составить уравнение касательной к кривой y = f(x) в точке х₀:

1) у = 5x³ + 2x² х + 3, х_о = 2;

2) у = x/(x + 2), х_о = 0;

3) у = x³ + x +5, х_о= 1.

3.Составить уравнение касательной к кривой y = f(x) параллель-

ной данной прямой ax + by + c = 0:

1) у = x³ +1, у 3х + 1 = 0;

2) у = х² – 4х, 2x  у 2 = 0;

3) у = е ^х, х + у = 0.

4.Составить уравнение касательной к кривой y = f(x) перпенди-

кулярной данной прямой ax + by + c = 0:

1) у = 3x x², х + 2у = 1;

2) у = ln (x 1), х + у = 1.

5.Проверить, является ли функция y = f(x) решением данного

дифференциального уравнения:

1) у – =х, у = 2х³ – х²;

2) х у+ у = lnх +1, у = lnх;

3) x^. y = y (1+ ln(y/x)), y = x^. e ^x;

6.Найти приращение y и дифференциал dy функции:

1) у =x² +xприх = 1их= 0,04; 2)у =x³ 8xприх = 2их= 0,01.

7.Вычислить приближенно с помощью дифференциала:

1) 5; 2) 105; 3) 65; 4) 33.

8. Зависимость расхода автомобилем бензина у (л) на 100 км пути в зависимости от скорости х (км/ч) описывается функцией у = 20 0,4х + 0,005х². Определить наиболее экономичную скорость.

9. При плавании судна суточные расходы у (тыс.руб./cут.) выражаются через его скорость х (км/сут.) формулой у = 320/x + 0,02х². Найти скорость судна, при которой плавание будет наиболее экономично.

10. Консервная банка данного объема V имеет форму цилиндра. Каково должно быть отношение ее размеров x ( x = h /d , где h  высота и d  диаметр), чтобы на ее изготовление пошло минимальное количество жести?

11. Из имеющихся досок можно построить забор длиной 200 м. Определить размеры максимального по площади участка прямоугольной формы, прилегающего к стене дома, который можно огородить этими досками.

12. Определите наибольшее и наименьшее значения функции y = f(x) на заданном отрезке [a; b].

1) у = х³  3х + 3 на [3; 1,5] ;

2) у = х⁴ 8х² + 3 на [2; 2];

3) у = (х1)/(х+1) на [0; 4];

4) у = 3х х³ на [2; 3] .

13. Для функции y=f(x): a) найти область определения и выяснить поведение функции на бесконечности, б) определить четность или нечетность, в) найти промежутки монотонности и точки экстремума, г) определить направление вогнутости и найти перегиба; д) найти точки пересечения графика с осями координат, е) построить график.

1) у = х³ 4,5х² + 6х; 2) у = 0,25х³ х² 4х + 6; 3) у = 0,125(х +2)(х4)²;

4) у = х³ + 0,25х⁴; 5) у = 0,5х²(х²  4).