- •В.А.Ганов учебно-методический комплекс
- •280700.62 «Техносферная безопасность»
- •Оглавление
- •Пояснительная записка
- •1). Цели и задачи дисциплины, ее место в учебном процессе
- •2). Общие пояснения
- •2.Основные требования государственного образовательного стандарта
- •3.2. Содержание учебной дисциплины
- •4. Разделы учебной дисциплины, виды учебной деятельности и формы контроля
- •5. Самостоятельная работа студента
- •5.1. График самостоятельной работы студента
- •6. Оценочные средства для контроля успеваемости ирезультатов освоения учебной дисциплины
- •7.Литература
- •2.5.1. Основная литература
- •7. Материально-техническое обеспечение учебной дисциплины
- •2.6.1. Требования к аудиториям (помещениям, местам) для проведения занятий:
- •7.2. Требования к оборудованию рабочих мест преподавателя и обучающихся:
- •8.Тематический план (распределение часов курса по темам и видам работ):
- •1 Семестр
- •2 Семестр
- •3 Семестр
- •7. Учебно-методическая (технологическая) карта дисциплины.
- •1 Семестр
- •7. Учебно-методическая (технологическая) карта дисциплины.
- •2 Семестр
- •7. Учебно-методическая (технологическая) карта дисциплины.
- •3 Семестр
- •10.Контрольные задания и тесты
- •Вариант 2.
- •13.Какой из следующих определителей не равен нулю?
- •Вариант 2
- •Вариант 19
- •Вариант 22
- •Вариант 23
- •Вариант 24
- •Вариант 27
- •Утверждаю: Зав. Кафедрой_________________
- •11.1. Вопросы к экзамену по дисциплине «Высшая математика»,
- •8.1.2.Экзаменационные билеты по высшей математике
- •11.2.Экзаменационные вопросы
- •11.2.Экзаменационные билеты (2-й семестр)
- •8.3.1.Экзаменационные вопросы
- •8.3.2.Экзаменационные билеты по высшей математике 3-й семестр
- •Учебные пособия
- •Оглавление
- •Глава 1. Элементы линейной алгебры
- •§1. Числовые матрицы и определители
- •Основные свойства матриц
- •Основные свойства определителей
- •§2. Обратная матрица
- •§3. Системы линейных уравнений
- •2) Если определитель а равен нулю и хотя бы один из I отличен от нуля, то система (5) не имеет решений;
- •3) Если определитель а и все вспомогательные определители I равны нулю, то система (5) имеет бесконечное множество решений.
- •1) Если в (7) нет противоречий и число уравнений равно числу неизвестных, то система (3) имеет единственное решение;
- •2) Если (7) содержит противоречие, то система (3) не имеет решений;
- •3) Если в (7) нет противоречий, но число уравнений меньше числа неизвестных, то система (3) имеет бесконечное множество решений.
- •§4. Ранг матрицы и неопределенные системы
- •Упражнения 1
- •Глава 2. Аналитическая геометрия
- •§1. Декартова система координат
- •§2. Уравнение прямой линии на плоскости
- •§3. Кривые линий второго порядка
- •§4. Декартовы координаты и векторы в пространстве
- •2). Координаты точки деления отрезка в заданном отношении вычисляют по формулам:
- •§5. Скалярное произведение векторов
- •Свойства скалярного произведения
- •§6. Векторное и смешанное произведения
- •Свойства векторного произведения
- •§7. Плоскость и прямая линия в пространстве
- •2).Условие параллельности плоскостей:
- •Основное правило 1.
- •2).Условие параллельности прямых:
- •Основное правило 2.
- •Упражнения 2
- •Глава 3. Поверхности второго порядка
- •§1.Сферические, цилиндрические и конические поверхности
- •Частные случаи.
- •§2.Стандартные поверхности 2-го порядка
- •§3. Поверхности вращения
- •Упражнения 3
- •Глава 4. Комплексные числа
- •§1. Алгебраическая форма комплексного числа
- •§2. Тригонометрическая форма комплексного числа
- •Упражнения 4
- •Глава 5. Разложение рациональных дробей
- •Правило разложения правильной вещественной дроби на простейшие дроби.
- •Глава 6. Введение в математический анализ
- •§1. Числовые функции
- •§2. Простейшие функции
- •Основные свойства степеней
- •Основные свойства логарифмов
- •6. Тригонометрические функции.
- •Обратные тригонометрические функции.
- •§3. Бесконечные величины и предел функции
- •Свойства пределов
- •Первый замечательный предел
- •Второй замечательный предел
- •Теперь исходный предел равен: §4. Непрерывные функции
- •3) F(X) принимает на [a; b] все промежуточные значения между своими наименьшим и наибольшим значениями.
- •Упражнения 4
- •Упражнения 5
- •Библиографический список
- •Часть 2
- •Глава 1. Дифференциальное исчисление………………………………………………….5
- •§1. Производная функции одной переменной
- •Правила дифференцирования
- •§2. Задачи, приводящие к понятию производной функци
- •§4. Основные теоремы о дифференцируемых функциях
- •§5. Исследование функций на монотонность и экстремум
- •Задачи на экстремум.
- •§6. Вогнутость и точки перегиба
- •Определение 6.Точки, в которых график функции меняет направление вогнутости называютсяточками перегиба.
- •Упражнения 1
- •Ответы к упражнениям 1
- •Глава 2. Интегральное исчисление
- •§1. Неопределенный интеграл
- •Правила интегрирования
- •Основные свойства неопределенных интегралов
- •§2. Методы интегрирования
- •3.Интегрирования по частям. Пусть u и V - дифференцируемые функции от х, тогда верно равенство
- •5. Интегрирование некоторых тригонометрических функций.
- •§3. Определенный интеграл
- •Свойства определенного интеграла
- •§4.Приложения определенных интегралов
- •1.Вычисление площади плоской фигуры, ограниченной линиями
- •§5. Несобственные интегралы
- •Упражнения 2
- •Ответы к упражнениям 2
- •Глава 3. Функции нескольких переменных
- •§1. Евклидово n-мерное пространство
- •§2. Экстремумы функций двух переменных
- •§3. Метод наименьших квадратов
- •Упражнения 3
- •Глава 4. Функции комплексного переменного
- •§1. Определение и геометрическое и изображение
- •Предел и непрерывность функции комплексного переменного
- •§2. Элементарные функции комплексного переменного
- •§3. Дифференцирование
- •Другие свойства
- •Геометрический смысл производной
- •Глава 5. Дифференциальные уравнения
- •§1. Дифференциальные уравнения 1-го порядка
- •Теорема о существовании решения задачи Коши
- •Методы интегрирования дифференциальных уравнений
- •§2. Дифференциальные уравнения 2-го порядка
- •Теорема существования решения задачи Коши
- •Методы понижения порядка.
- •§3. Линейные уравнения 2-го порядка
- •§4. Линейные уравнения с постоянными коэффициентами
- •Упражнения 5
- •Глава 8.Элементы теории вероятностей
- •§1.Определение вероятности и ее свойства
- •Свойства вероятности
- •§2. Повторные независимые испытания
- •§3. Случайные величины
- •Основные свойства функции распределения f(X)
- •Основные свойства плотности распределения f(X)
- •Свойства математического ожидания
- •Свойства дисперсии
- •Основные виды распределений
- •§4. Закон больших чисел
- •Приложение 1.Элементы комбинаторики Основные правила комбинаторики
- •Простейшие соединения
- •Упражнения 7
- •Упражнение 8
- •Библиографический список
- •Приложение 2. Математико-статистические таблицы
- •Глава 8. Введение в математическую статистику
- •§1. Выборочный метод
- •Основные виды распределений
- •Упражнение 8
§3. Случайные величины
Рассматривается некоторый переменный процесс и в нем наблюдается величина Х, принимающая свои значения в зависимости от случайных причин, которые заранее не могут быть учтены. Тогда с каждым возможным значением Х связывают вероятность того, что Х принимает это значение. Подобные величины описываются с помощью следующих понятий.
Определение 2. Случайной величиной называется переменная величина, которая принимает свои значения с некоторой вероятностью. Случайные величины обозначаются большими буквами Х, У, а их значения обозначаются малыми буквами х, y с числовыми индексами. Если возможные значения случайной величины Х представляют собой отделенные друг от друга числа х1, х2, ..., хк, то Х называется дискретной случайной величиной. Если возможные значения Х образуют на числовой оси сплошной промежуток (а; b), то Х называется непрерывной случайной величиной. Соответствие между значениями случайной величины и вероятностями принять эти значения называется законом распределения этой величины. В случае дискретной случайной величины Х этот закон записывается в виде следующей таблицы:
Х |
x1 |
x2 |
… |
xn |
Р |
p1 |
p2 |
… |
pn |
Здесь в первой строке указаны возможные значения Х, а во второй - вероятности этих значений: pi = Р(Х = хi). При этом должно выполняться равенство
р1 + р2 + ...+ рn = 1.
Пример 18. На соревновании по стрельбе выступили 3 спортсмена. Вероятности попадания в мишень для каждого из них соответственно равны 0,9, 0,7, 0,8. Составить закон распределения общего числа попаданий, если каждый из них сделал по одному выстрелу.
Решение. Пусть Х = "общее число попаданий", тогда Х принимает значения 0, 1, 2, 3. Пусть А1, А2, А3 обозначают события «попадание 1-го, 2-го, 3-го спортсмена», соответственно. Событие Х = 0 означает, что все трое промахнулись, т. е. оно равно (А1А2А3). Рассматриваемые события А1, А2, А3 и противоположные им события независимы, следовательно: Р(Х = 0) = Р(А1А2А3) = Р(А1Р(А2)Р(А3) = 0,10,30,2 = 0,006. Событие Х = 1 означает, что только один спортсмен попал в мишень, это равно (А1А2А3) + (А1А2А3) + (А1А2А3). Следовательно: Р(Х = 1) = Р(А1) Р(А2) Р(А3) + Р(А1)Р(А2)Р(А3) + Р(А1)Р(А2) Р(А3) = 0,90,30.2 + 0,10,70.2 + 0,1 0,3·0.8 = 0,092. Аналогично получается, что Р(Х = 2) = Р(А1)Р(А2)Р(А3) + Р(А1)Р(А2)Р(А3) + Р(А1) Р(А2) Р(А3) = 0,90,70.2 + 0,90,30.8 + 0,10,70.8 =0,398. Р( Х= 3) = Р(А1А2А3) = Р(А1)Р(А2)Р(А3) = 0,90,70.8 = 0,504.
Теперь, закон распределения Х имеет вид:
Х |
0 |
1 |
2 |
3 |
Р |
0,006 |
0,092 |
0,398 |
0,504 |
Определение 3. Функцией распределения случайной величины Х называется функция F(x), которая каждому числу x ставит в соответствие вероятность того, что Х принимает значение меньше, чем x : F(x) = Р(Х < х).
Пример 19. Функцию распределения для величины Х из примера 12 строят следующим образом. Х принимает значения 0, 1, 2, 3, поэтому различаются следующие случаи: х 0, 0< х 1, 1 < х 2, 2 < х 3, х > 3. 1).
y
1
0, если x0,
0,006, если 0< x 1,
0,5 F(x) = 0,098, если 1< x 2,
0,496, если 2< x 3,
1, если x > 3 .
0 1 2 3 4 5 X
Рис.1
1). Если х 0, то (Х < х) невозможное событие, тогда F(x) = 0.
2). Если 0< х 1, то cобытие (Х < х) совпадает с (Х = 0), поэтому
F(x) = Р(Х = 0) = 0,006,
3). Если 1 < х 2, то cобытие (Х < х) равно сумме событий (Х = 0) и
(Х = 1), поэтому F(x) = Р(Х = 0) + Р(Х = 1) = 0,006 + 0,092 = 0,098.
4). Если 2 < х 3, то cобытие (Х < х) равно сумме событий (Х = 0), (Х = 1), (Х = 2), поэтому F(x) = Р(Х = 0) + Р(Х = 1) + Р(Х = 2) = 0,098 + 0,398 = 0,496.
5). Если х > 3, то (Х < х) - достоверное событие, тогда F(x) = 1.
Получилась следующая функция распределения, и ее график, рис.1.
Случайные величины - это обычные числовые величины, и над ними можно производить известные числовые операции. При этом некоторые трудности могут возникать только при построении законов распределения или функций распределения получаемых величин. В примерах 13 и 17 рассмотрены простейшие случаи подобных операций.
Следующие понятия и их свойства занимают центральное место в теории вероятностей.
Случайные величины называются независимыми, если закон распределения одной величины не зависит от значений другой величины.
Если случайная величина Х непрерывная, то кроме функции распределения F(x), ей соответствует функцией плотности f(х), которая определяется как производная от функции распределения: f(х) = F'(x). Свойства этих функций указаны на следующих чертежах.
y y
1
y = F(x) y = f(x)
0 x 0 a b x
Рис.2 Рис.3