Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
EUMKD_adocx.docx
Скачиваний:
124
Добавлен:
18.03.2016
Размер:
3.96 Mб
Скачать

§3. Случайные величины

Рассматривается некоторый переменный процесс и в нем наблюдается величина Х, принимающая свои значения в зависимости от случайных причин, которые заранее не могут быть учтены. Тогда с каждым возможным значением Х связывают вероятность того, что Х принимает это значение. Подобные величины описываются с помощью следующих понятий.

Определение 2. Случайной величиной называется переменная величина, ко­торая принимает свои значения с некоторой вероятностью. Случайные вели­чины обозначаются большими буквами Х, У, а их значения обознача­ются малыми буквами х, y с числовыми индексами. Если возможные значе­ния случайной величины Х представляют собой отделенные друг от друга числа х1, х2, ..., хк, то Х называется дискретной случайной величиной. Если возмож­ные значения Х образуют на числовой оси сплошной промежуток (а; b), то Х называется непрерывной случайной величиной. Соответствие между значениями случайной величины и вероятностями принять эти значения называ­ется законом распределения этой величины. В случае дискретной случай­ной величины Х этот закон записывается в виде следующей таблицы:

Х

x1

x2

xn

Р

p1

p2

pn

Здесь в первой строке указаны возможные значения Х, а во второй - вероятности этих значений: pi = Р(Х = хi). При этом должно выполняться равенство

р1 + р2 + ...+ рn = 1.

Пример 18. На соревновании по стрельбе выступили 3 спортсмена. Вероятности попадания в мишень для каждого из них соответственно равны 0,9, 0,7, 0,8. Составить закон распределения общего числа попаданий, если каждый из них сделал по одному выстрелу.

Решение. Пусть Х = "общее число попаданий", тогда Х принимает значения 0, 1, 2, 3. Пусть А1, А2, А3 обозначают события «попадание 1-го, 2-го, 3-го спортсмена», соответственно. Событие Х = 0 означает, что все трое промахнулись, т. е. оно равно (А1А2А3). Рассматриваемые события А1, А2, А3 и противоположные им события независимы, следовательно: Р(Х = 0) = Р(А1А2А3) = Р(А1Р(А2)Р(А3) = 0,10,30,2 = 0,006. Событие Х = 1 означает, что только один спортсмен попал в мишень, это равно (А1А2А3) + (А1А2А3) + (А1А2А3). Следовательно: Р(Х = 1) = Р(А1) Р(А2) Р(А3) + Р(А1)Р(А2)Р(А3) + Р(А1)Р(А2) Р(А3) = 0,90,30.2 + 0,10,70.2 + 0,1 0,3·0.8 = 0,092. Аналогично получается, что Р(Х = 2) = Р(А1)Р(А2)Р(А3) + Р(А1)Р(А2)Р(А3) + Р(А1) Р(А2) Р(А3) = 0,90,70.2 + 0,90,30.8 + 0,10,70.8 =0,398. Р( Х= 3) = Р(А1А2А3) = Р(А1)Р(А2)Р(А3) = 0,90,70.8 = 0,504.

Теперь, закон распределения Х имеет вид:

Х

0

1

2

3

Р

0,006

0,092

0,398

0,504

Определение 3. Функцией распределения случайной величины Х называется функция F(x), которая каждому числу x ставит в соответствие вероятность того, что Х принимает значение меньше, чем x : F(x) = Р(Х < х).

Пример 19. Функцию распределения для величины Х из примера 12 строят следующим образом. Х принимает значения 0, 1, 2, 3, поэтому различаются следующие случаи: х 0, 0< х 1, 1 < х 2, 2 < х 3, х > 3. 1).

y

1

0, если x0,

0,006, если 0< x 1,

0,5 F(x) = 0,098, если 1< x 2,

0,496, если 2< x 3,

1, если x > 3 .

0 1 2 3 4 5 X

Рис.1

1). Если х 0, то (Х < х)  невозможное событие, тогда F(x) = 0.

2). Если 0< х 1, то cобытие (Х < х) совпадает с (Х = 0), поэтому

F(x) = Р(Х = 0) = 0,006,

3). Если 1 < х 2, то cобытие (Х < х) равно сумме событий (Х = 0) и

(Х = 1), поэтому F(x) = Р(Х = 0) + Р(Х = 1) = 0,006 + 0,092 = 0,098.

4). Если 2 < х 3, то cобытие (Х < х) равно сумме событий (Х = 0), (Х = 1), (Х = 2), поэтому F(x) = Р(Х = 0) + Р(Х = 1) + Р(Х = 2) = 0,098 + 0,398 = 0,496.

5). Если х > 3, то (Х < х) - достоверное событие, тогда F(x) = 1.

Получилась следующая функция распределения, и ее график, рис.1.

Случайные величины - это обычные числовые величины, и над ними можно производить известные числовые операции. При этом некоторые трудности могут возникать только при построении законов распределения или функций распределения получаемых величин. В примерах 13 и 17 рассмотрены простейшие случаи подобных операций.

Следующие понятия и их свойства занимают центральное место в теории вероятностей.

Случайные величины называются независимыми, если закон распределения одной величины не зависит от значений другой величины.

Если случайная величина Х непрерывная, то кроме функции распределения F(x), ей соответствует функцией плотности f(х), которая определяется как производная от функции распределения: f(х) = F'(x). Свойства этих функций указаны на следующих чертежах.

y y

1

y = F(x) y = f(x)

0 x 0 a b x

Рис.2 Рис.3

Тут вы можете оставить комментарий к выбранному абзацу или сообщить об ошибке.

Оставленные комментарии видны всем.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]