§7. Плоскость и прямая линия в пространстве

В данном разделе рассматриваются основные утверждения об уравнениях плоскости прямой линии в пространстве.

1.Положение плоскости в пространстве однозначно определяется точкой, лежащей на плоскости, и вектором, перпендикулярным этой плоскости. Пусть точка М₀(х₀, у_0, z₀) лежит на плоскости , вектор = {A, B, C} перпендикулярен  и М(х, у_, z) – текущая точка. Тогда

М(х, у_, z)    вектор .

Здесь имеет координаты {х  х₀, у у_0, z  z₀}, и, с помощью условия перпендикулярности векторов, это утверждение записывается следующим образом:

М   = 0  A(х  х₀) + В(у  у₀) + С(z  z₀) = 0. (21)

Правое равенство называется уравнением плоскости, проходящей через данную точку. Оно является линейным уравнением относительно переменных х, у, z.

Теорема 14. Любое уравнение, линейное относительно х, у, z, задает плоскость в пространстве:

, (24)

Aх + Ву + Сz + D = 0

где коэффициенты A, B, C не равны 0 одновременно.

Определение 21. Это уравнение называется общим уравнением плоскости. При этом вектор = {A, B, C} перпендикулярен этой плоскости и называется нормалью плоскости. Величина равна расстоянию от начала координат до этой плоскости.

Исследование уравнения (22) сводится к рассмотрению следующих случаев:

1) если коэффициент A = 0, то Ву + Сz + D = 0 – уравнение плоскости, параллельной оси ОХ;

2) если коэффициент В = 0, то Ах + Сz + D = 0 – уравнение плоскости, параллельной оси ОY;

3) если коэффициент C = 0, то Ах + By + D = 0 – уравнение плоскости, параллельной оси ОZ;

4) если D = 0, то Aх + Ву + Сz = 0  уравнение плоскости, проходящей через начало координат.

В частности, уравнения координатных плоскостей XOY, XOZ и YOZ имеют вид z = 0, у = 0 и х = 0, соответственно.

Угол между двух плоскостей - это угол между нормалями этих плоскостей. Пусть две плоскости_ и _ заданы уравнениями A₁х + В₁у + С₁z + D₁ = 0 и A₂х + В₂у + С₂z + D₂ = 0, тогда = { A₁, В₁, С₁} и = { A₂, В₂, С₂} - нормали этих плоскостей. Согласно свойству 8 скалярного произведения, угол  между _ и _ находится по формуле

(23)

Теперь, из соответствующих свойств векторов получаются следующие признаки.

Теорема 15. 1). Условие перпендикулярности плоскостей:

2).Условие параллельности плоскостей:

3).Расстояние d от точки М₁(х₁, у_1, z₁) до плоскости, задаваемой уравнением (22), вычисляется по следующей формуле:

.

(24)

Задачи на плоскость. При решении задач на построение уравнения плоскости можно руководствоваться следующими инструкциями.