Основное правило 1.

1. Чтобы получить уравнение плоскости надо найти точку М₀, лежащую на плоскости, и вектор , перпендикулярный искомой плоскости. Затем координаты этой точки и этого вектора подставляются в (21). Точка часто дается в условии задачи. А чтобы найти нормаль, достаточно взять два вектора и , лежащих в этой плоскости или параллельных ей. В этом случае в качестве можно взять векторное произведение .

Пример 24. Даны точки М₁(3; 1; 0) и М₂(5; 3; 1). Написать уравнение плоскости, проходящей через точку М₁ перпендикулярно вектору .

Решение. Применяют формулу (21). Здесь в качестве М₀ берут точку М₁, а в качестве нормали берут вектор= {2; 4; 1}. Тогда, согласно основному правилу 1, получают искомое уравнение:

2(х – 3) + 4(у + 1) + (z – 0) = 0 или 2х + 4у +z 2 = 0.

Пример 25. Написать уравнение плоскости, проходящей через точку М₀(1; 2; 3) и параллельно плоскости 4x – 3y + 2z – 1 = 0.

Решение. Применяют формулу (21). Точка М₀ дана в условии задачи. Кроме того, по условию, искомая плоскость параллельна данной плоскости, тогда у этих плоскостей одинаковая нормаль = {4; -3; 2}. Теперь, согласно основному правилу 1, получают следующее искомое уравнение:

4(x – 1)  3(y  2) + 2(z  3) = 0 или 4x 3y +2z – 4 = 0.

Пример 26. Написать уравнение плоскости, проходящей через ось ОZ и точку М₀(3; 2; 0).

Решение. Применяют формулу (21). Точка М₀ дана в условии задачи, но нормаль явно не дана. Поэтому надо найти два вектора, лежащих в этой плоскости. Такими векторами в данном случае являются ортаk = {0, 0, 1} оси ОZ и радиус-вектор = {3,2, 0}. Тогда, согласно основному правилу 1,

= Следовательно,A = 2, B = 3, C = 0, и получают следующее искомое уравнение: 2х + 3у = 0.

Пример 27. Написать уравнение плоскости, проходящей через три точки М₁(2; 1; 1), М₂(3; 2; 1), М₃(1; 0; 3).

Решение. Применяется формула (20). В качестве М₀ берут точку М₁, а чтобы найти нормальn берут два вектора и, которые лежат в искомой плоскости. Здесьи=,тогда нормаль равна векторному произведению этих векторов: ==

Получилось =Следовательно,A = 4, B = 4, C = 0. Найденные значения подставляют в (20), получают 4(х  2) +4(у + 1) = 0 или 4х + 4у  4 = 0 – уравнение искомой плоскости.

Пример 28. Найти угол между плоскостями:

.

Решение. Здесьn₁ = {2; -2; 1} иn₂ = {1; 0; 1}, тогда, по формуле (23), Cледовательно, ^o .

Пример 29. Найти расстояние от точки (1; 1; 5) до плоскости 2x + 2y – z  4 = 0.

Решение. Применяют формулу (24), искомое расстояние равно

Вывод уравнения прямой линии в пространстве. Положение прямой линии в пространстве однозначно определяется точкой, лежащей на этой прямой, и вектором, параллельным этой прямой. Пусть точка М₀(х₀, у_0, z₀) лежит на прямой L, вектор = {m, n, p} параллелен L и М(х, у_, z) – текущая точка. Тогда

М(х, у_, z)  L  ||.

Здесь имеет координаты {х  х₀, у у_0, z  z₀}, и, с помощью условия параллельности векторов, это утверждение записывается следующим образом:

(25)

Теорема 16. В декартоиых координатах уравнения прямой имеют иид (25).

Это каноническая формой уравнений прямой в пространстве. Вектор называетсянаправляющим вектором.

Если отношения (25) приравнять к t, то возникают так называемые параметрические уравнения прямой:

x = mt + x₀,

y = nt + y₀,

z = pt + z₀.

Прямую линию можно задавать так же, как линию пересечения двух плоскостей. Тогда уравнения этих плоскостей вида (21) объединяются в систему:

A₁х + В₁у + С₁z + D₁ = 0,

A₂х + В₂у + С₂z + D₂ = 0.

Это система называется общей формой уравнений прямой.

Угол между двумя прямыми – это угол между направляющими векторами этих прямых. Пусть прямые L_ и L_ заданы каноническими уравнениями

и

Тогда ={ m₁, n₁, p₁} и = { m₂, n₂, p₂} - направляющие векторы этих прямых. Cогласно свойству 8 скалярного произведения, угол  между L_ и L_ находится по формуле:

Теорема 17. 1). Условие перпендикулярности прямых: