2).Условие параллельности прямых:

В частности, уравнения координатных осей ОХ, ОY, OZ имеют вид:

y = 0, x = 0, x = 0,

z = 0; z = 0; y = 0.

При решении задач на построение уравнений прямой линии можно руководствоваться следующими инструкциями.

Основное правило 2.

Чтобы построить канонические уравнения прямой надо найти точку, лежащую на этой прямой, и направляющий вектор, параллельный этой прямой. Точка часто дается в условии задачи. А чтобы получить направляющий векторs достаточно, найти две точки, лежащие на прямой, или найти нормаль перпендикулярной плоскости, или найти нормали двух плоскостей, проходящих через прямую, и т. п. Затем координаты указанной точки и направляющего вектора подставляются в уравнения (25).

Например, при построении уравнений прямой, проходящей через две точки М₁ (х₁, у₁, z₁) и М₂ (х₂, у₂, z₂), в качестве направляющего вектора берут вектор получают уравнения:

Пример 30. Найти уравнения прямой, проходящей через точку (1; 2; 3) и перпендикулярно плоскости 2x – 2y + z  3 = 0.

Решение. Применяют основное правило 2. Точка дана в условии примера. А так как прямая перпендикулярна плоскости, то она параллельна нормали этой плоскости, и следовательно, в качестве направляющего вектора искомой прямой можно взять нормаль плоскостиn = {2; 2; 1}. Теперь, по формуле (25), получаются искомые уравнения:

Пример 31. Cледующие уравнения прямой линии в общей форме

3х + 2у  z + 2 = 0,

х + у + 2z 1 = 0,

записать в канонической форме.

Решение. Согласно правилу 2, требуется найти координаты точки, лежащей на данной прямой, и координаты направляющего вектора. В качестве координат указанной точки можно взять любое решение данной системы. Например, пусть z = 2, получится система:

3х + 2у = 0,

х + у + 3= 0.

Из первого уравнения получают у = 1,5х, это подставляют во второе уравнения и получается решение: х = 6, у = 9. Тогда искомая точка имеет координаты (6; 9; 2). Линия пересечения двух плоскостей лежит в обеих плоскостях, поэтому она перпендикулярна нормалям этих плоскостей. Следовательно, ее направляющий вектор перпендикулярен обеим нормалям = {3; 2; 1} и = {1; 1; 2|, и тогда в качестве можно взять векторное произведение =

=

Теперь, по формуле (25), искомые уравнения имеют вид:

Упражнения 2

1.Вершинами треугольниеа являются точки A(2;2), B(-2;8),

C(-6;.Составить уравнения медиан треугольника.

2. Определить расстояние между точками: 1) E(2; 7) и F(22; 0);

2) С(2; 3) и D(10;2); 3) А(3; 8) и В(5; 14).

3.Вершинами треугольника являются точки A(0;1), B(6;5),C(12;-1).

Составить уравнение высоты CD.

4.Даны уравнения сторон треугольника ABC: (AB): x - 3y - 7= 0;

(BC): 4x – y – 2 = 0; (AC): 6x + 8y – 35 = 0. Найти длину высоты BD.

5.Вершинами треугольника являются точки A(-2;0), B(2;6), C(4;2).Составить уравнения стороны АС, медианы ВЕ, высоты ВД треугольника

6. 5.Определить углы между прямыми: 1) 5x-y+7=0 и 2x-3y+1=0;

2). x- 4y=6 и 4x+y=11; 3).3x+2Y=0 и 6X+4Y+9=0.

7.Найти растяния: а). от А(4;3), В(2;1), С(1;0) до прямой 3x+4y-1=0;

б). от начала координат до прямой 12x - 5y+39= 0.

8. Показать, что прямые параллельны:

1) 4х 6у + 7 = 0 и 20х 30у  11 = 0; 2) 2x + y  4 = 0 и 14 х  7у + 1 = 0.

9. Показать, что прямые перпендикулярны:

1) 3х5у + 4 = 0 и 10х + 6у 3 = 0; 2) х + 3у + 7 = 0 и 6х 2у + 1 = 0.

9. Составить уравнение прямой, проходящей через точку А(2; 5) и

отсекающей на оси ординат отрезок b = 7.

11. Составить уравнение прямой, проходящей через точку М(2; 5)

параллельно прямой: 3х + 4у + 1 = 0.

12. Составить уравнения прямых, проходящих через точку М(3; 4) параллельно осям координат.

13a). Написать уравнение окружности с центром в С(4, 6), R = 3;

13b). Написать уравнение окружности с центром в С(4, 3), R = 2.

14. Найти центры и радиусы окружностей:

a) x²  y²  7y = 0; b) x²  y²  5x  7y + 2,5 = 0. c) x²  y²  4x  6y  3 = 0.

15.Построить эллипсы, определяемые уравнениями:

16a).Написать уравнение эллипса симметричного относительно осей координат, если его большая полуось равна 5 и параметр с равен 3;

16b).Написать уравнение эллипса симметричного относительно осей координат, если эллипс проходит через точкуМ(4;21),имеет эксцентриситет= 0,75иего фокусы находятся на осиОх;

16c).Написать уравнение эллипса симметричного относительно осей координат, еслиэллипс проходит через точкиА(6; 0)иМ(23;6).

17. Построить гиперболы, определяемые уравнениями:

18.Написать уравнение гиперболы, симметричной относительно осей координат, зная, что: a) гипербола проходит через точку М(6;22) и имеет мнимую полуось b = 2;b)гипербола проходит через точку М(; 1,55)и имеет вещественную полуось а = 4.

19.Построить параболы, определяемые уравнениями:

a)y²= 9x;b)x²=9y;c)y= (x2) ²;d)y= (x2) ² 3;e)y=x² 4x+ 5.

20.Написать уравнение параболы, симметричной относительно осиОХ, зная, что:a) парабола проходит через точки (0; 0) и (2;8);b) парабола проходит через точки (0; 0) и (1; 4).

21. Выяснить геометрический смысл уравнений:

1) x²  9y² = 0; 2) x² + 9y² = 0; 3) x²  y² x + 4y  4 = 0;

4) x² + 4y²  6x  8y – 3 = 0; 5) х² + 6x  2y + 5 = 0; 6) y² 8y – 4x = 0;

7) 2x² + 5y²  12x  10y + 13 = 0; 8) x²  4y²  8x  24y – 24 = 0.

22. Построить вектор и найти его длину, если

1) А(1; 2), В(7; 10); 2) А(-2; 1), В(2; 4); 3) А(-1; 2), В(-5; 2); 4) А(0; 0), В(3; 1).

23. Даны точки А(-2; 1), В(1; 2), С(3; -2). Построить векторы

24. Даны точки А(-3; -2), В(1; 2), С(4; 6), D(10; 8). Построить векторы

25. Векторы иперпендикулярны, причем=3 и=5. Вычислить,.

26. Вычислить , если= 13,= 19,=24.

27. Вычислить , если=11,= 23,= 30.

28. Выразить через ивектор, если

1) А(-1; -2), В(-1; 8); 2) А(1; -1), В(-2; 3); 3) А(0; 2), В(-3; 0); 4) А(0; 0), В(-3; 4).

29. Вычислить скалярное произведение векторов и:

1) 2)

30. Определить угол между векторами и:

1) 2)

3) а = {3; 4}, b = {5; 12}; 4) а = {2; 3}, b = {3; 2}.

31. На трех некомпланарных векторах построен параллелепипед. Указать те его вектор-диагонали, которые соответственно равны.

32. Даны три последовательные вершины прямоугольника: А(-3; -2; 0), В(3; -3; 1), С(5; 0; 2). Найти его четвертую вершину D.

33. Даны векторы . Найти

34. Вычислить площадь треугольника с вершинами А, В, С, где:

1) А(3; 3; 4), В(1; 0; 6), С(4; 5; 2); 2) А(1; 2; 8), В(0; 0; 4), С(6; 2; 0).

35. Найти объем параллелепипеда, построенного на векторах:

;

36. Написать уравнение плоскости, проходящей через точку М₁(0; 1; 3) перпендикулярно вектору , гдеМ₂(1, 3, 5).

37. Написать уравнение плоскости, проходящей через точки М₁(0; 1; 3) и М₂(2, 4, 6) параллельно оси ОХ.

38. Написать уравнение плоскости, проходящей через ось ОХ и точку М₁(0; -2; 3).

39. Написать уравнение плоскости, проходящей через точки М₁(-4; 0; 4), М₂(4; 0; 0), М₃(0, 3, 0).

40. Написать уравнения прямой, проходящей через точки А и В:

1) А(1; 2; 3) и В(2; 6; -2); 2) А(2; 1; 3) и В(2; 3; 3).