Правила интегрирования

1.

2.

3.

4.

5.  f(x)dx =  f(∙dt

6.  u dv = u v -  v du

Во второй таблице указаны основные формулы для нахождения интегралов от элементарных функций. Эти формулы называются табличными интегралами. В общем случае чтобы проверить вычисление какого-нибудь интеграла нужно вычислить производную от полученного интеграла и убедиться, что в результате получается исходная подынтегральная функция.

Пример 2. Доказать интеграл  xⁿ dx = , где n  -1.

Доказательство. Вычисляется производная от правой части:

= + 0 = xⁿ. Получилась подынтегральная функция, интеграл доказан.

ТАБЛИЦА ИНТЕГРАЛОВ		Частные случаи
1		a). b).
2
3
4
5
6
7
8	= arcsin x + c
9
10
11
12	=

Основные свойства неопределенных интегралов

1. Производная от интеграла по переменной интегрирования равна подынтегральной функции: ( f(x)dx) = f(x).

2. Интеграл от дифференциала функции равен самой функции:

 du = u + c.

3. Если функции f(x) и g(x) интегрируемы, то сумма этих функций

интегрируема и верно равенство:

4. Если функция f(x) интегрируема, то для любого числа с произведение cf(x) интегрируемо и верно равенство:

 cf(x)dx = c f(x)dx.

Доказательство. Согласно равенствам (1) и (2), ( f(x)dx) = (F(x) + c) = f(x), следовательно, свойство 1 доказано. Аналогично доказывается свойство 2. Далее, в силу свойств производной, и свойства 1,

() = =. Следовательно, свойство 3 доказано. Аналогично доказывается свойство 4.

В следующих примерах подынтегральная функция преобразовывается в сумму подходящих функций, и затем применяются табличные интегралы. Этот метод называется методом разложения функции. Для краткости исходные инте­гралы обозначаются символом.

Примеры 3. Найти следующие интегралы.

1).  (x³ - 3x² + 2x – )dx;

Решение. По указанным выше свойствам и формулам 1, 2 таблицы интегралов,  =  x³ dx - 3 x² dx + 2 x dx – 4 dx =

0,25х⁴ - х³ + х² – 4ln |x| + c.

2).  (x² – 2)²dx.

Решение. Раскрываются скобки и, по формуле 1, получается:

 = (x⁴ - 4x² + 4)dx = x⁵ -x³ + 4x + c.

Решение.Применяются формулыа),б) из пункта 1 таблицы интегралов:

Решение.Каждое слагаемое в скобках умножается на, получен­ные выражения интегрируются, как в предыдущих примерах

Решение.Применяется табличный интеграл 10:

 =

В более полных курсах по математике доказывается ут­верждение

Теорема. Если функция f(x) непрерывна или имеет только конечное число конечных разрывов на некотором интервале, то она интегрируема в этом интервале.

Согласно этой теореме и теореме 1 из [частm 1, главf 4, §4] всякая элементарная функция непрерывна там, где она определена. Поэтому она интегрируема в своей области определения. Но не всегда первообразная элементарной функции является элементарной функцией. Например, следующие интегралы существуют, но не являются элементарными функциями:

Такие интегралы называются неберущимися, они вычисляются с помощью специальных методов, которые в данном курсе не рассматриваются. Здесь изучаются только некоторые методы интегрирования, которые дают элементарные функции.