Свойства дисперсии

1. Дисперсия неотрицательна: D(Х) 0.

2. Дисперсия постоянной величины равна нулю: D(С)= 0.

3. Постоянный множитель выносится из-под знака дисперсии в квадрате: D(с∙Х) = с ²∙D(Х).

4. Если Х, Y - независимые величины, то верна формула

D(Х + Y)= D(Х) + D(Y).

Пример 21. Вычислить маематические ожидания и дисперсии случайных величин X, Y, Z из примера 20 и проверить их свойства.

М(2·Х - 3·Y) = 2·М(Х) - 3·М(Y), D(2·Х - 3·Y) = 4·D(Х) + 9·D(Y).

Решение. Применяется формула (6): М(Х) = -1∙0,3+ 1∙0,2 + 2∙0,5 = 0,9; М(Y) = -1∙0,5+ 0∙0,1 + 1∙0,4 = -0,1; М(Z) = -5∙0,12 - 2∙0,03 - 1∙0,08 +1∙0,35 + 2∙0,02 + 4∙0,05 + 5∙0,10 + 7∙0,25 = 2,1. Теперь проверяется первое соотношение: 2·М(Х) - 3·М(Y) = 2·0,9 – 3· (-0,1) = 2,1 = М(Z) - верно.

Дисперсии вычисляются по формуле (9). Для этого сначала нужно вычислить М(Х²), М(Y²), М(Z²). Случайная величина Х² принимает значения:

1 и 4. При этом Х² = 4 только в одном случае, когда Х = 2, поэтому

Р(Х² = 4) = Р(Х = 2) = 0,5. Далее, Х² = 1 в двух случаях, когда Х = -1 и Х = 1. Тогда, по теореме сложения, Р(Х² =1) = Р(Х = -1) + Р(Х = 1) =

0,3 + 0,2 = 0,5. Закон распределения Х² имеет вид:

X2	1	4
pi	0,5	0,5

Получилось, что М(Х²) = 1∙0,5 + 4∙0,5 = 2,5 и D(Х) = 2,5 - 0,9² = 1,69.

Аналогично находится закон распределения Y² :

Y2	0	1
pi	0,1	0,9

Получилось, что М(Y²) = 0∙0,1 + 1∙0,9 = 0,9 и D(Y) = 0,9 - (-0,1)² = 0,89.

Закон распределения Z² имеет вид:

Z2	1	4	16	25	49
pi	0,43	0,05	0,05	0,22	0,25

Тогда = 1∙0,43 + 4∙0,05+16∙0,05+25∙0,22+49∙0,25 = 19,18 и = 19,18 - 2,1² = 14,77. Теперь проверяется второе соотношение: 4·+ 9·= 4·1,69 + 9· 0,89 = 14,77 = - верно.

Основные виды распределений

Определение 8. Случайная величина Х распределена равномерно на промежутке [a; b], если ее плотность распределения имеет вид:

Из второго свойства следует, что. Тогда математическое ожидание находится следующим образом.

= .

Дисперсия находится по формуле (7).

Пример 22. Случайная величина Х имеет равномерное распределение

на промежутке [1; 2]. Найти плотность распределения Z = 3X+2. Решение. Плотность распределения случайной величины Х имеет указанный выше вид са = 1, b = 2 и с = 1. Делается замена z = 3x+2 и доказы-

вается, что плотность случайной величины Z будет равна:

Определение 9. Биноминальное распределение случайной величины Х  это распределение, при котором Х принимает целые значения от 0 до n, и для каждого m вероятность того, что Х= m вычисляется по формуле Бернулли (2):

Р(Х = m) = С_n^mp^mq^nm. Для такой случайной величины Х числовые характеристики вычисляются по формулам:

(10)

Определение 10. Нормальный закон распределения случайной величины Х  это распределение, при котором плотность распределения Х имеет вид

или , гдеа и   параметры,  3,14, е  2,72, f_л  функция Лапласа.

Смысл указанных параметров следующий: а  математическое ожидание, ²  дисперсия и   среднее квадратическое отклонение Х, т. е. М(Х) = а; D(Х) =²; (Х) = .

Вероятность того, что Х принимает значения в промежутке от  до  равна

(11)

где  функция Лапласа (см. §2). В частности, вероятность того, что Х отклоняется от М(Х) = а не более, чем на , находится по формуле

(12)

Пример 23. Вероятность того, что при перевозке повредится упаковка изделия, равна 0,1. Найти закон распределения числа изделий с поврежденной упаковкой при перевозке четырех изделий; вычислить математическое ожидание и дисперсию и проверить (10).

Решение. Пусть Х число изделий с поврежденной упаковкой. Для каждого изделия вероятность повредить упаковку одинаковая, поэтому вероятность события Х= m равна Р_n(m), где n = 4, m = 0, 1, 2, 3 или 4, p = 0,1, q = 0,9. Следовательно, Х имеет биномиальное распределение. Тогда Р(Х=0) = С₄^0,1⁰0,9⁴ = 0,6562; Р(Х = 1) = С₄^0,1¹0,9³ = 0,2916; Р(Х = 2) = С_^0,1²0,9² = 0,0486; Р(Х = 3) = С₄^0,1³0,9 = 0,0036; Р(Х = 4) = С_^0,1⁴ 0,9⁰ = 0,0001. Теперь, закон распределения Х имеет вид:

Х	0	1	2	3	4
Р	0,6561	0,2916	0,0486	0,0036	0,0001

По формуле (6), М(Х) = 00,6561 + 10,2916 + 2 0,0486 + 30,0036 +

4 0,0001 = 0,4. Дисперсия D(Х) находится по формуле (9). Сначала находится М(Х^) = 0^0,6561 + 1^0,2916 + 2^0,0486 +3^0,0036 + 4^0,0001= 0,52. Тогда D(Х) = 0,52  0,4^ = 0,36. Теперь, проверяются формулы (64): М(Х) = 40,1 = 0,4; D(Х) = 40,1 0,9 = 0,36 верно.

Пример 24. Математическое ожидание нормально распределенной случайной величины Х равно 4, среднее квадратическое отклонение равно 2. Написать плотность распределения Х.

Решение. Параметры а и совпадают математическим ожиданием и средним квадратическим отклонением, поэтому вместо них в формулу плотности нормального закона подставляются числа 4 и 2: .

Пример 25. Случайная величина Х распределена по нормальному закону с М(Х) =10 и D(Х) = 4. Найти вероятность того, что Х принимает значения от 12 до 14. Решение. Применяется формула (11): Ф(4/2)  Ф(2/2) = 0,4772 0,3413 = 0,1359.

Пример 26. Производится взвешивание некоторого вещества без систематических ошибок. Ошибки взвешивания подчинены нормальному закону распределения с 10 г. Найти вероятность того, что взвешивание произведено с ошибкой не более чем 15 г по абсолютной величине.

Решение. Пусть Х - ошибка взвешивания, и Х распределена по нормальному закону, тогда применяется формула (12), при этом  = 10 и  = 15. Так как взвешивание производится без систематических ошибок, то М(Х)= 0, получается: Р(Х0  15) = 2Ф(15/10) = 2Ф(1,5) = 0,8664.

Пример 27. Случайная величина Х распределена по нормальному закону с М(Х) = 10 и (Х) = 5. Найти интервал, симметричный относительно М(Х) , в который попадает Х с вероятностью 0,9973.

Решение. Симметричный относительно М(Х) интервал имеет вид

(М(Х)  ; М(Х) +), где   некоторое число. Требуется найти  такое, чтобы вероятность события (М(Х)  Х  М(Х) + ) была равна 0.9973. Это событие записывается в виде ХМ(Х) , и тогда, по формуле (12), получается уравнение Ф() = 0,4982. По таблице 2 Ф(3) = 0,4982, следовательно:  = 3 и  = 3 = 35 = 15. Искомый интервал равен (5; 25).