Свойства вероятности

1. Вероятность события В - это определённое число, не зависящее от вида пространства элементарных случаев, и 0  Р(В)  1.

2. Вероятность достоверного события равна 1: Р() = 1; вероятность невозможного события равна 0: Р() = 0.

3. Вероятности события А и противоположного ему события связаны соотношениемР(А) + Р() = 1.

4. Если А и В несовместимые события, то Р(А + В) = Р(А) + Р(В).

5. Если наступление события А влечет наступление события В, то Р(А)  Р(В).

При аксиоматическом построении теории вероятностей эти свойства принимают за аксиомы.

Теорема сложения. Для произвольных случайных событий А и В верно соотношение

Р(А + В) = Р(А) + Р(В) - Р(А∙В).

События А и В называются независимыми, если вероятность одного события не зависит от наступления другого события; в противном случае А и В - зависимые события. В случае зависимых событий рассматривают условную вероятность. Условной вероятностью события В при условии А называется вероятность события В, вычисленная при предположении, что событие А произошло, обозначение: илиР(В/A) .

Теорема умножения. а). Если события А и В независимые, то

Р(А∙В) = Р(А)∙Р(В).

б). Для произвольных случайных событий А и В:

Р(А∙В) = Р(А)∙ Р_А(В) .

Пример 6. В урне находятся 3 белых и 4 черных шара. Из нее наугад достают два шара. Какова вероятность того, что: а) оба шара белые? б) один шар белый, другой черный? в) хотя бы один шар белый?

Решение. Пусть через А₁, А₂ обозначаются вспомогательные события:

"1-й шар белый", "2-й шар белый", соответственно. а). Событие "Оба шара белые" означает наступление А₁ и А₂, значит оно равно (А₁ ∙А₂). После извлечения одного шара в урне возникает новое соотношение белых и черных шаров, следовательно, А₁ и А₂ зависимые события. Поэтому применяется пункт б) теоремы умножения: Р(А₁∙А₂) = Р(А₁) ∙Р_А1(А₂). Событию А₁ благоприятствует 3 случая, а всего случаев 7, следовательно, Р(А₁) = . Для вычисления условной вероятностиР_А1(А₂) предполагается, что событие А₁ произошло, тогда в урне будет 2 белых и 4 черных шара. В таком случае событию А₂ благоприятствует 2 случая, cледовательно, Р_А1(А₂) = =. Тогда Р(А₁∙А₂) = ()∙() =.

б). Событие "Один шар белый и другой черный" означает либо наступление А₁ и ненаступление А₂, либо ненаступление А₁ и наступление А₂. Это равно событию (А₁ +∙ А₂). Слагаемые в этом событии являются несовместимыми, так как в одном из них наступает А₁, а в другом А₁ не наступает. Поэтому Р(А₁ +∙А₂) = Р(А₁ ) + Р∙А₂). Вероятности этих произведений вычисляются так же, как в случае а). Р(А₁) = Р(А₁)∙Р_А1(), иР∙А₂) = P()∙. По свойству 3, Р() = 1- Р( А₁) = 1- =. . АналогичноР_А1() = 1- Р_А1(А₂) =1- = . Для вычисления предполагают, что произошло, т. е. извлекли черный шар, тогда осталось 3 белых и 3 черных. В таком случае событиюА₂ благоприятствует 3 cлучая, а всего 6 случаев. Следовательно, = =; и Р(А₁ +∙А₂) = ∙ + ∙ = .

в). Пусть С обозначает cобытие: "Хотя бы один шар белый". В таких случаях рекомендуют рассматривать противоположное событие: = "Оба шара черные", которое равно (). Так же, как в случаяха), б), получается: Р() =Р() =Р()∙ = .∙ (1- ) = . Теперь, Р(С) = (1- ) = .

Ответ: а) ; б); в).

Пример 7. В двух ящиках находятся электролампочки. В первом ящике - 50 штук, среди которых 5 нестандартных, во втором - 40 штук, среди которых 5 нестандартных. Из каждого ящика берут наугад по одной лампочке. Найти вероятность того, что: а) обе лампочки стандартные; б) обе лампочки разного качества.

Решение. Пусть А₁ = "взятая из первого ящика лампочка стандартная", А₂ = "взятая из второго ящика лампочка стандартная". а). Пусть В = "обе лампочки стандартные", тогда В = (А₁∙А₂). Так как лампочки берутся из разных ящиков, то А₁, А₂ - независимые события, и по теореме умножения: Р(В) =

Р( А₁)∙ Р(А₂). Для А₁ число благоприятствующих случаев равно 45, а всего случаев 50, следовательно, Р(А₁) = = 0,9; для А₂ число благоприятствующих случаев равно 35, а всего случаев 40, следовательно, Р(А₂) = = 0,875. Теперь,Р(В) = 0,9 ∙ 0,875 = 0,7875.

б). Пусть С = "обе лампочки разного качества", тогда С = (А₁∙ + ∙ А₂). Здесь слагаемые - несовместимые события, так как в одном имеется А₁, а в другом . Тогда, по свойству 4, получаетсяР(С) = Р(А₁∙) + Р ∙ А₂). События А₁ и А₂ - независимые, поэтому Р(А₁∙)) = Р(А₁) ∙ Р() = 0,9∙(1- 0,875) = 0,1125; Р(∙ А₂) = Р()∙Р(А₂) =(1- 0,9)∙0,875 = 0,0875. Теперь, Р(С) = 0,1125 + 0,0875 = 0,2. Ответ: а) 0,7875; б) 0,2.

Пример 8. Два стрелка стреляют по мишени. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле для первого стрелка равна 0,5, а для второго – 0,65. Найти вероятность того, что при одном залпе в мишень попадет только один из стрелков.

Решение: Событие А = «попадание только одного из двух стрелков», состоит из двух событий: А₁ «попал 1-й, 2–й промахнулся», и А₂ = «попал 2–й, 1-й промахнулся». Вероятности промаха для каждого из стрелков равны соответственно: 0,5 и 0,35. По теореме умножения:

Р(А₁) = 0,5·0,35 = 0,175, Р(А₂) = 0,65·0,5 = 0,325. Тогда по теореме сложения: Р(А) = Р(А₁)+ Р(А₂) = 0,175 + 0,325= 0,5.

Пример 9. Рабочий обслуживает три станка. Вероятность того, что в течение часа первый станок не потребует наладки, равна 0,8, второй - 0,85, третий - 0,9. Найти вероятность того, что в течение часа потребует наладки: а) только один станок; б) хотя бы один станок.

Решение. Пусть = "i-й станок потребует наладки в течение часа",

i = 1, 2, 3, 4. а). Пусть В = "только один станок потребует наладки", тогда

В = (∙∙+ ∙+ ∙ . Каждое слагаемое содержит либо , либо , поэтому слагаемые являются несовместимыми событиями, и, по свойству 4, Р(В) = Р(∙∙) + Р(∙) + Р(∙ . ). В условии задачи даны вероятности событий, противоположных к , поэтомуР() =

1-0,8 = 0,2; Р() = 1-0,85 = 0,15;Р() = 1-0,9 = 0,1. Эти вероятности не зависят от наступления других событий, поэтому каждый множитель является независимым событием, и, по теореме умножения,Р(∙∙ = Р()∙Р()∙Р() = 0,2∙0,85∙0,9 = 0,153. Аналогично вычисляются остальные слагаемые: Р(∙) = 0,108; Р(∙ = 0,068, тогда Р(В) = 0,153 + 0,108 + 0,068 = 0,329.

б). Пусть С = "Хотя бы один станок потребует наладки", рассматривают противоположное событие:= "Ни один станок не потребует наладки" = ∙ . Выше показано, что эти множители являются независимыми событиями, поэтому Р() = 0,8∙0,85∙0,9 = 0,612. По свойству 3, Р(С) = 1-0,612 = 0,388. Ответ: а) 0,329; б) 0,388.