Определение 6.Точки, в которых график функции меняет направление вогнутости называютсяточками перегиба.

Необходимое условие точки перегиба:если точка (x₀; f(x₀)) является точкой перегиба графика функции y = f(x), то ее производная второго порядка f (x) в точке x₀ равна нулю или не существует.

Точка x₀, в которой существуетf (x₀), ноf (x₀) равна нулю или не существует, называетсястационарной точкойфункцииf(x).

Достаточное условие точки перегиба:если x₀  стационарная точка функции f(x) и f (x) меняет знак при переходе через x₀, то точка (x₀; f(x₀)) является точкой перегиба графика этой функции.

Пример 17. Доисследовать на вогнутость функции из примера 12.

Впримере 12у=х³х. Здесь находятyи точки, в которыхy= 0.y= 3х²1 = 0x_1,2=0,58. Определяют знакиy:

+ +х

0,58 0,58 +

Рис.7.

На промежутках (;0,58) и (0,58; +) график вогнут вверх, на (0,58; 0,58) график вогнут вниз;х₁,х₂абсциссы точек перегиба, иА(; 0,14),B(; 0,14)точки перегиба (см. рис.6).

Схема построения графиков дифференцируемой функций

Для построения графика функции y=f(x) нужно последовательно выполнить шаги, указанные в следующих пунктах.

1). Найти область определения функции и исследовать поведение функции на границах этой области и в окрестностях точек разрыва.

2). Найти асимптоты в случае их существования.

3). Выяснить четность и нечетность функции и ее периодичность.

4). Исследовать функцию на монотонность и найти точки экстремума.

5). Определить направление вогнутости и найти точки перегиба.

6). Найти точки пересечения графика с осями координат и некоторые дополнительные точки графика.

7). Результаты исследования и найденные точки изобразить в системе координат и можно строить график.

Пример 18. Исследовать функцию у = 3х⁵  5х³ .

Решение. 1). Указанные в формуле 3х⁵  5х³ действия можно производить над любыми числами, поэтому область определения функции равна . Исследуется поведение функции при х   . Для этого функцию преобразуют к виду у = х³(3х² 5). Тогда легко видеть, что если x  , то х³  (+)³ = + и (3х²5)  3()² 5 = +, следовательно, у  . Если же x то х³ ³ =  и (3х² 5) ², следовательно, у

Таким образом, при х   у   и при х   у  

Точек разрыва нет, поэтому вертикальных асимптот нет.

3). Проверяют нечетность функции: f(x) = 3(х)⁵ 5(х)³ = 3х⁵ + 5х³ = (3х⁵5х³) = f(x). Это означает, что функция нечетная, ее график симметричен относительно начала координат. Данная функция непериодическая.

4). Вычисляют производную: у= 3(х⁵) 5(х³) = 15х⁴ 15х². Находят критические точки: у= 0  15х² (х²1) = 0  х₁= 0, х₂= 1, х₃ = 1. На рис. 8 схематично указаны промежутки монотонности и знаки у:

   + х

 1 0 1 

Рис.8.

На и функция возрастает; на (1; 0) и ( 0; 1) она убывает. Точки х₂ = 1, х₃ = 1 являются точками экстремума: х₂ = 1 точка максимумаи у_max = у(1) = 2; х₃ = +1 точка минимума и у_min = у(1) = 2. Точка х₁ = 0 не является точкой экстремума, так как у не меняет знак при переходе через 0.

5). Вычисляют производную 2-го порядка: у= (15х⁴ ) 15х²) = 60х³  30х. Находят стационарные точки: у= 0  60х³  30х = 0 

х₁ = 0, х₄ , х₅ = 0,5. Изображают промежутки вогнутости и определяют знаки производной второго порядка уи направления вогнутости:

   

 0,5 0 0,5 

Рис.9.

Получено у< 0 на промежутках (;0,5), (0;0,5), поэтому здесь график вогнут вниз; у> 0 на промежутках (0,5; 0), (0,5; ), поэтому здесь график вогнут вверх. Вычисляют значения функции в стационарных точках: у(0)0,у(0,5)  1,24, у(0,5)1,24. Точки перегиба имеют координаты: О(0; 0), С(0,5; 1,24), D(0,5; 1,24).

6). Уравнение оси ОХ имеет вид у = 0, поэтому координаты точек пересечения с осью ОХ находят из следующей системы:

уи ух⁵х³.Отсюда: х₁ х₆   1,29х₇  1,29

Получены точки пересечения с ОХ: О(0;0), А(1,29; 0), В(1,29; 0).

Уравнение оси ОY имеет вид х = 0, поэтому координаты точек пересечения с осью ОY находят из системы: x и у = 3х⁵ 5х³ Отсюда получают, что О(0; 0) точка пересечения сОY

• 7). Координаты найденных выше точек записывают в виде таблицы, и эти точки изображают в декартовой системе координат.

• Для уточнения графика находят вспомогательные точки: Р₁(1,4; 2,41), Р₂(1,4; 2,41), эти точки используют вместо указанных пункте 1 точек Р₁, Р₂. По найденным точкам строят график (см. рис.10).

x y

1,29 0

1 -2

0,7 -1,21

1. 0

-0,7 .1,21

-1 2

-1,29 0

-1,4 -2,41

1,4 2,4

у = 3х⁵ 5х³

D y Р₁

2

С

A 1 B x -1 0

D

-2

Р₂ Рис.10.