- •В.А.Ганов учебно-методический комплекс
- •280700.62 «Техносферная безопасность»
- •Оглавление
- •Пояснительная записка
- •1). Цели и задачи дисциплины, ее место в учебном процессе
- •2). Общие пояснения
- •2.Основные требования государственного образовательного стандарта
- •3.2. Содержание учебной дисциплины
- •4. Разделы учебной дисциплины, виды учебной деятельности и формы контроля
- •5. Самостоятельная работа студента
- •5.1. График самостоятельной работы студента
- •6. Оценочные средства для контроля успеваемости ирезультатов освоения учебной дисциплины
- •7.Литература
- •2.5.1. Основная литература
- •7. Материально-техническое обеспечение учебной дисциплины
- •2.6.1. Требования к аудиториям (помещениям, местам) для проведения занятий:
- •7.2. Требования к оборудованию рабочих мест преподавателя и обучающихся:
- •8.Тематический план (распределение часов курса по темам и видам работ):
- •1 Семестр
- •2 Семестр
- •3 Семестр
- •7. Учебно-методическая (технологическая) карта дисциплины.
- •1 Семестр
- •7. Учебно-методическая (технологическая) карта дисциплины.
- •2 Семестр
- •7. Учебно-методическая (технологическая) карта дисциплины.
- •3 Семестр
- •10.Контрольные задания и тесты
- •Вариант 2.
- •13.Какой из следующих определителей не равен нулю?
- •Вариант 2
- •Вариант 19
- •Вариант 22
- •Вариант 23
- •Вариант 24
- •Вариант 27
- •Утверждаю: Зав. Кафедрой_________________
- •11.1. Вопросы к экзамену по дисциплине «Высшая математика»,
- •8.1.2.Экзаменационные билеты по высшей математике
- •11.2.Экзаменационные вопросы
- •11.2.Экзаменационные билеты (2-й семестр)
- •8.3.1.Экзаменационные вопросы
- •8.3.2.Экзаменационные билеты по высшей математике 3-й семестр
- •Учебные пособия
- •Оглавление
- •Глава 1. Элементы линейной алгебры
- •§1. Числовые матрицы и определители
- •Основные свойства матриц
- •Основные свойства определителей
- •§2. Обратная матрица
- •§3. Системы линейных уравнений
- •2) Если определитель а равен нулю и хотя бы один из I отличен от нуля, то система (5) не имеет решений;
- •3) Если определитель а и все вспомогательные определители I равны нулю, то система (5) имеет бесконечное множество решений.
- •1) Если в (7) нет противоречий и число уравнений равно числу неизвестных, то система (3) имеет единственное решение;
- •2) Если (7) содержит противоречие, то система (3) не имеет решений;
- •3) Если в (7) нет противоречий, но число уравнений меньше числа неизвестных, то система (3) имеет бесконечное множество решений.
- •§4. Ранг матрицы и неопределенные системы
- •Упражнения 1
- •Глава 2. Аналитическая геометрия
- •§1. Декартова система координат
- •§2. Уравнение прямой линии на плоскости
- •§3. Кривые линий второго порядка
- •§4. Декартовы координаты и векторы в пространстве
- •2). Координаты точки деления отрезка в заданном отношении вычисляют по формулам:
- •§5. Скалярное произведение векторов
- •Свойства скалярного произведения
- •§6. Векторное и смешанное произведения
- •Свойства векторного произведения
- •§7. Плоскость и прямая линия в пространстве
- •2).Условие параллельности плоскостей:
- •Основное правило 1.
- •2).Условие параллельности прямых:
- •Основное правило 2.
- •Упражнения 2
- •Глава 3. Поверхности второго порядка
- •§1.Сферические, цилиндрические и конические поверхности
- •Частные случаи.
- •§2.Стандартные поверхности 2-го порядка
- •§3. Поверхности вращения
- •Упражнения 3
- •Глава 4. Комплексные числа
- •§1. Алгебраическая форма комплексного числа
- •§2. Тригонометрическая форма комплексного числа
- •Упражнения 4
- •Глава 5. Разложение рациональных дробей
- •Правило разложения правильной вещественной дроби на простейшие дроби.
- •Глава 6. Введение в математический анализ
- •§1. Числовые функции
- •§2. Простейшие функции
- •Основные свойства степеней
- •Основные свойства логарифмов
- •6. Тригонометрические функции.
- •Обратные тригонометрические функции.
- •§3. Бесконечные величины и предел функции
- •Свойства пределов
- •Первый замечательный предел
- •Второй замечательный предел
- •Теперь исходный предел равен: §4. Непрерывные функции
- •3) F(X) принимает на [a; b] все промежуточные значения между своими наименьшим и наибольшим значениями.
- •Упражнения 4
- •Упражнения 5
- •Библиографический список
- •Часть 2
- •Глава 1. Дифференциальное исчисление………………………………………………….5
- •§1. Производная функции одной переменной
- •Правила дифференцирования
- •§2. Задачи, приводящие к понятию производной функци
- •§4. Основные теоремы о дифференцируемых функциях
- •§5. Исследование функций на монотонность и экстремум
- •Задачи на экстремум.
- •§6. Вогнутость и точки перегиба
- •Определение 6.Точки, в которых график функции меняет направление вогнутости называютсяточками перегиба.
- •Упражнения 1
- •Ответы к упражнениям 1
- •Глава 2. Интегральное исчисление
- •§1. Неопределенный интеграл
- •Правила интегрирования
- •Основные свойства неопределенных интегралов
- •§2. Методы интегрирования
- •3.Интегрирования по частям. Пусть u и V - дифференцируемые функции от х, тогда верно равенство
- •5. Интегрирование некоторых тригонометрических функций.
- •§3. Определенный интеграл
- •Свойства определенного интеграла
- •§4.Приложения определенных интегралов
- •1.Вычисление площади плоской фигуры, ограниченной линиями
- •§5. Несобственные интегралы
- •Упражнения 2
- •Ответы к упражнениям 2
- •Глава 3. Функции нескольких переменных
- •§1. Евклидово n-мерное пространство
- •§2. Экстремумы функций двух переменных
- •§3. Метод наименьших квадратов
- •Упражнения 3
- •Глава 4. Функции комплексного переменного
- •§1. Определение и геометрическое и изображение
- •Предел и непрерывность функции комплексного переменного
- •§2. Элементарные функции комплексного переменного
- •§3. Дифференцирование
- •Другие свойства
- •Геометрический смысл производной
- •Глава 5. Дифференциальные уравнения
- •§1. Дифференциальные уравнения 1-го порядка
- •Теорема о существовании решения задачи Коши
- •Методы интегрирования дифференциальных уравнений
- •§2. Дифференциальные уравнения 2-го порядка
- •Теорема существования решения задачи Коши
- •Методы понижения порядка.
- •§3. Линейные уравнения 2-го порядка
- •§4. Линейные уравнения с постоянными коэффициентами
- •Упражнения 5
- •Глава 8.Элементы теории вероятностей
- •§1.Определение вероятности и ее свойства
- •Свойства вероятности
- •§2. Повторные независимые испытания
- •§3. Случайные величины
- •Основные свойства функции распределения f(X)
- •Основные свойства плотности распределения f(X)
- •Свойства математического ожидания
- •Свойства дисперсии
- •Основные виды распределений
- •§4. Закон больших чисел
- •Приложение 1.Элементы комбинаторики Основные правила комбинаторики
- •Простейшие соединения
- •Упражнения 7
- •Упражнение 8
- •Библиографический список
- •Приложение 2. Математико-статистические таблицы
- •Глава 8. Введение в математическую статистику
- •§1. Выборочный метод
- •Основные виды распределений
- •Упражнение 8
§3. Кривые линий второго порядка
Определение 5. Линией второго порядка на плоскости называется линия, определяемая уравнением 2-й степени относительно х, у. Общее уравнений таких линий будет рассмотрено ниже, а сначала изучаются уравнения окружности, эллипса, гиперболы и параболы.
Определение 6. Окружностью радиуса R с центром в точке С называется множество всех точек плоскости, удаленных от С на расстоянии R.
Теорема 7. Пусть М(х; у) – текущая точка окружности и (х0; y0) – координаты центра С, тогда уравнение окружности радиуса R имеет вид:
(х – х0)2 + (y – y0)2 = R2
(11)
Если в (11) раскрыть скобки, то оно примет вид х2 + y2 + mx + ny + p = 0, где m, n, p – некоторые числа.
Наоборот, чтобы от этого уравнения перейти к уравнению вида (11), нужно в левой части выделить полные квадраты с переменными х и у, в результате получится равносильное уравнение вида:
Тогда, если здесь правая часть равенства положительна, то получено уравнение окружности, координаты центра и радиус которой равны:
Пример 10. Написать уравнение окружности радиуса 5 с центром в точке (3; 4), и проверить, лежат ли на этой окружности точки А(1; 1), В(3; 2), О(0; 0)?
Решение. Применяют формулу (11). Здесь х0 = 3, y0 = 4, R = 5, получилось уравнение окружности: (х – 3)2 + (y + 4)2 = 25. Теперь, в это уравнение подставляют координаты указанных точек. Легко видеть, что точки А и О удовлетворяют этому уравнению, а точка В не удовлетворяет. Следовательно, А и О лежат на окружности, а В не лежит.
Пример 11. Найти центр и радиус окружности: х2 + y2 6x + 4y 23 = 0.
Решение. В левой части уравнения выделяют полные квадраты с х и у:
х2 + у2 6х + 4у 23 = (х2 6х + 9) – 9 + (у2 + 4у+ 4) 4 23 = (х 3)2 + (y+ 2)2 36 = 0 или (х 3)2 + (y + 2)2 = 36. Согласно формуле (11), центр имеет координаты (3; 2) и радиус равен 6. Но можно сразу применить указанные выше формулы ( 12). Здесь m = 6, n = 4, p = 23, тогда С(6/2; 4/2) = С(3; 2) и R2 = 23 + 36/4 + 16/4 = 36, R = 6.
Определение 7. Эллипсом называется множество всех точек плоскости, сумма расстояний каждой из которых от двух данных точек F1 и F2 (называемых фокусами) есть величина постоянная (равная 2а).
Вывод уравнения эллипса. Пусть ось ОХ проходит через фокусы F1 и F2, ее начало О расположено в середине между фокусами F1 и F2, ось ОY направлена вверх. Через M(x; y) обозначается текущая точка эллипса. Тогда
(M принадлежит эллипсу) (|F1M| + |F2 M| = 2а).
Пусть расстояние между фокусами |F1F2| равно 2с, тогда фокусы F1 и F2 имеют координаты (с; 0) и (с; 0). Известно, что сумма длин двух сторон треугольника больше, чем длина третьей стороны. Поэтому 2а > 2с, тогда а2 > с2 и можно ввести обозначение: b =. Теперь, в выделенной эквивалентности правую часть с помощью формулы (1), приводят к виду:
Теорема 8. В декартовых координатах уравнение эллипса имеет вид:
(13)
Это каноническое уравнение эллипса. Эллипс, заданный таким уравнением, симметричен относительно осей координат. Величины a, b называются полуосями и показаны на рис.5: а – большая полуось и b – малая полуось, при этом c =).
Y
b M
с с
F1 О F2
-c c
a a X
b
Рис.5.
Отношение = называется эксцентриситетом, он меньше 1 и характеризует степень сжатия эллипса по оси ОY: чем меньше , тем больше эллипс сжимается по оси 0Y. Иногда рассматривают уравнение вида (13), в котором ab. Оно тоже является уравнением эллипса, но при этом фокусы F1 и F2 находятся на оси ОY на расстоянии этом c = от центра, их координаты равны (0, –с) и (0, +с), и В этом случае эксцентриситет равен = и характеризует степень сжатия эллипса по осиОX.
Пример 12. Написать каноническое уравнение эллипса, зная, что:
а) расстояние между фокусами равно 8, малая полуось равна 3;
б) большая полуось равна 6 и эксцентриситет равен 0,5.
Решение. а). По условию, 2с = 8 и b = 3, тогда с = 4 и а2 =с2 + b2 = 16 + 9 = 25. Это подставляется в (13), получается искомое уравнение .
б). По условию, а = 6 и = 0,5, тогда с = а = 3 и b2 =a2 c2 = 36 9 = 27. Это подставляют в (13), получают искомое уравнение:.
Определение 8. Гиперболой называется множество всех точек плоскости, разность расстояний каждой из которых от двух данных точек F1 и F2 , (называемых фокусами) есть величина постоянная (равная 2а).
Вывод уравнения гиперболы. Пусть ось ОX проходит через фокусы F1 и F2, ее начало О расположено в середине между фокусами, ось ОY направлена вверх. Пусть M(x; y) текущая точка, тогда,
( M принадлежит гиперболе) (|F1M| |F2M| = 2а).
Пусть расстояние между фокусами |F1F2| равно 2с, тогда фокусы F1 и F2 имеют координаты (с; 0) и (с; 0). Известно, что разность длин двух сторон треугольника меньше, чем длина третьей стороны. Поэтому 2а > 2с и а2 > с2, и
можно ввести обозначение: b =. Тогда в выделенной эквивалентности правая формула с помощью формулы (1) приводится к виду
(14)
Теорема 9. В декартовых координатах уравнение гиперболы имеет вид (14).
Это каноническое уравнение гиперболы. Гипербола, заданная таким уравнением, симметрична относительно осей координат. Величины a, b называются полуосями и показаны на рис.6.
Y
M b
X
F1 a 0 a F2
b
Рис.6.
Точки А1(а; 0), А2(а; 0) – вершины гиперболы. Гипербола ось ОY не пересекает, поэтому а называется вещественной полуосью и b – мнимая полуось. При этом c = . Отношение = называется эксцентриситетом и характеризует степень сжатия ветвей гиперболы к оси ОX: чем меньше , тем больше ветви сжимаются к оси ОХ.
Прямые y = x и y = x называются асимптотами гиперболы
вдоль оси ОY. При этом а является мнимой полуосью и b – вещественной полуосью. Фокусы F1 и F2 находятся на оси ОY на расстоянии с = от центра, их координаты равны (0, –с) и (0, +с), в этом случае эксцентриситет равен = и характеризует степень сжатия ветвей гиперболы к оси ОY.
Пример 13. Написать каноническое уравнение гиперболы, зная что:
а) расстояния между фокусами равно 10 и между вершинами равно 8;
б) вещественная полуось равна 25, а эксцентриситет равен 1,2.
Решение. a). По условию, 2с = 10 и 2а = 8, тогда с = 5, а = 4 и b2 =
с2 а2 = 25 – 16 = 9.
Значения а2 = 16, b2 = 9 подставляют в (14), получают искомое уравнение
б). По условию, а = 25 и = 1,2, тогда с = а = 26 и b2 = 24 – 20 = 4. Значения а2 = 20, b2 = 4 подставляют в (14), получают уравнение
Определение 9. Параболой называется множество всех точек плоскости, одинаково удаленных от данной точкиF(называемойфокусом) и от данной прямой (называемой директрисой).
Вывод уравнения параболы.Пусть осьОXперпендикулярна к директрисе, проходит через фокус Fи направлена в сторону F. Ее начало расположено в середине между директрисой и фокусом, осьОYнаправлена вверх (см.рис.7а).
A Y Y
М
N M
F X F X
0 0 А N В
B
б)
Рис.7.
Пусть M(x;y) - текущая точка параболы иN– ее проекция на директрису. Тогда,
(M принадлежит гиперболе)(|FM| = |NM|).
Пусть расстояние от фокуса до директрисы равно р, Тогда фокусFимеет координаты (; 0), точкаNимеет координаты ( ;у), и выделенное выше равенство с помощью формулы (1) приводится к виду:
y2 = 2px
(15)
Теорема 10. В декартовой системе координат уравнение параболы имеет вид (15).
Это каноническое уравнение параболы.В этом случае парабола симметрична относительно осиОХ, ее ветви расположены вправо. ДиректрисаАВпараллельна осиОYи ее уравнение равнох=
Уравнение x2= 2pyтоже является уравнением параболы, которая симметрична относительно осиОY и, еслиp> 0, то ее ветви направлены вверх, а еслиp< 0, то ветви направлены вниз. В этом случае директрисаАВпараллельна осиОХи фокусF расположен на осиOY(см. рис.7,б)).
Пример 14. Написать уравнение параболы: а) проходящей через точки (0; 0) и (1; 3) и симметрично относительно ОХ; б) проходящей через точки (0; 0) и (2; 4) и симметрично относительно ОY.
Решение. а). Так как парабола проходит через (0; 0) и симметрична относительно ОХ, то применяют уравнение (15). В него подставляют кординаты х = 1, у = 3 второй точки: (3)2 = 2р. Отсюда находят р = 4,5. Тогда искомое уравнение параболы имеет вид: y2 = 9x.
б). Так как парабола проходит через (0; 0) и симметрична относительно ОY, то применяют второе уравнение параболы: х2 = 2py. В него подставляют координаты х = 2, у = 4 второй точки: (2)2 = 8р. Отсюда находят р = 0,5. Тогда искомое уравнение параболы имеет вид: x2 = y или y = x2 .
Определение 10. Общее уравнение линии 2-го порядка на плоскости имеет вид:
Ax2 + 2Bxy + Сy2 + 2Dx + 2Ey + F = 0 (16)
Из коэффициентов уравнения (16) составляют два определителя:
Теорема 11. В декартовой системе координат уравнение (16) определяет геометрические образы: согласно таблице 1.
Таблица 1
|
0 |
= 0 |
> 0 |
Эллипс (действительный или мнимый) |
Точка |
< 0 |
Гипербола |
Пара пересекающихся прямых |
= 0 |
Парабола |
Параллельные прямые (действительные или мнимые) |
Пример 15. Выяснить геометрический смысл уравнений:
1) 4x2 y2 = 0; 2) 4x2 + y2 = 0; 3) x2 + y2 + 2x + 2 = 0;
4) x2 + y2 6x 8y + 25= 0; 5) y2 – 2x + 4y = 0; 6) y2 16 = 0;
7) 2x2 + 3y2 4x 6y – 7 = 0; 8) x2 y2 4x 2y – 4 = 0.
Решение. Вычисляются определители и :
1). Здесь А = 4, С = 1, остальные коэффициенты равны 0. Тогда
Согласно таблице 1, уравнение 4x2 y2 = 0 определяет две пересекающиеся прямые: y = 2x и y = 2x.
2). Здесь А = 4, С = 1, остальные коэффициенты равны 0. Тогда
Согласно таблице 1, уравнение 4x2 y2 = 0 определяет точку О(0; 0).
3). Здесь А = 1, С = 1, D = 1, F = 2, остальные коэффициенты равны 0.
Согласно таблице 1, уравнение x2 + y2 + 2x + 2 = 0 определяет эллипс:
(x + 1)2 + y2 = 1. Более того, этот эллипс является окружностью с центром в точке (1; 0). Но так как R2 = 1, то эта окружность мнимая.
4). Здесь А = 1, С = 1, D = 3, E = 4, F = 25, остальные равны 0. Тогда
Согласно таблице 1, x2 + y2 6x 8y + 25 = 0 определяет точку (3; 4).
5). Здесь C = 1, D = 1, E = 2, остальные коэффициенты равны 0. Тогда = 0, = 1 0 и, согласно таблице 1, уравнение y2 – 2x + 4y = 0; определяет параболу «на боку»: (y + 2)2 = (x + 2), с вершиной в (-2, -2) ветви вправо.
6). Здесь С = 1, F = 16, остальные коэффициенты равны 0. Тогда = 0,
= 0, и, согласно таблице 1, уравнение y2 16 = 0 определяет две параллельные прямые: y = 4 и y = 4.
7). Здесь А = 2, С = 3, D = 2, E = 3, F = 7, остальные коэффициенты
равны 0. Тогда = 6 > 0, = 90 0, и, согласно таблице 1, уравнение
2x2 + 3y2 4x 6y – 7 = 0 определяет эллипс:
8). Здесь А = 1, С = 1, D = 2, E = 1, F = 4, остальные коэффициенты
равны 0. Тогда = 1<0, = 7 0, и, согласно таблице 1, уравнение
x2 y2 4x 2y – 4 = 0 определяет гиперболу: