Глава 1. Элементы линейной алгебры

Алгебра – часть математики, посвященная изучению алгебраических операций. Термин «Алгебра» происходит от названия сочинения Мухаммеда аль-Хорезми «Альджебр аль-мукабала» (IX в.), которое содержало общие приемы для решения задач, сводящихся к решению алгебраических уравнений.

Ф. Виет (конец XVI в.) первым стал применять буквенные обозначения, как для неизвестных, так и для заданных в задаче величин. К середине XVII века в основном сложилась современная алгебраическая символика и тем самым завершилась «предыстория» алгебры.

Исторически первым разделом алгебры была теория линейных уравнений, в которой в связи с решением систем линейных уравнений возникает понятие определителя. В 1750 году Г. Крамер публикует свои формулы для решения квадратных систем линейных уравнений. Затем появляется понятие матрицы, и в 1849 году К. Гаусс открывает свой метод решения этих систем. В 1877 году вводится понятие ранга матрицы, которое позволило явно выразить условия совместности систем линейных уравнений.

§1. Числовые матрицы и определители

Определение 1. Числовой матрицей называется прямоугольная таблица чисел

Числа называютсяэлементами матрицы. Для краткости матрицы обозначаются большими буквами А, В, С (возможно с числовыми индексами), или следующим образом: (),i = 1, ..., m; j = 1, ..., n. Запись mn называется размером матрицы, где m - число строк и n - число столбцов этой матрицы. При этом понятия строки и столбца очевидны.

Пример 1. Матрицы и их размеры:

Матрица, все элементы которой равны 0, называется нулевой, обозначение: . Если в матрице одинаковое число строк и столбцов (m = n), то она называется квадратной, в такой матрице элементы ,, ... ,называютсядиагональными. Квадратная матрица вида nn, у которой диагональные элементы равны 1 и остальные элементы равны 0, называется единичной матрицей n-го порядка и обозначается :

Матрицы А и В называются равными, если они одинакового размера и на соответствующих местах у них стоят одинаковые числа, обозначение: A = B.

Первое очевидное и наиболее широкое применение матриц – это использование матриц для записи и передачи числовой информации при описании каких-либо массовых явлений или процессов. При этом исходные числовые данные соответствующим образом систематизируются и записываются в виде числовой матрицы. Тем самым, автоматически происходит классификация информации (по строкам или столбцам), а это позволяет оперативно и достаточно наглядно производить внешний анализ исследуемого явления или процесса.

Пример 2. Матрицей может быть представлена информация о взаимных поставках продукции отраслей материального производства. Пусть следующая матрица А определяет взаимные поставки продукции трех отраслей:

1) химической промышленности, 2) станкостроения, 3) электроэнергетики,

Здесь элементы а₁₁ = 2 , а₁₂ = 4, а₁₃ = 5 означаютобъемы продукции химической промышленности, потребляемые соответственно в химической промышленности, станкостроении, электроэнергетике; а₂₁ = 3, а₂₂ = 1, а₂₃ = 2  объемы продукции станкостроения, потребляемые соответственно в химической промышленности, станкостроении, электроэнергетике; а₃₁ = 4, а₃₂ = 8, а₃₃ = 7 объемы продукции электроэнергетики, потребляемые соответственно в химической промышленности, станкостроении, электроэнергетике. Сравнение строчек этой матрицы показывает, что электроэнергетика является наиболее ёмкой, а станкостроение наименее ёмкой среди этих отраслей. Сравнение столбцов показывает, что продукция химической промышленности является наименее востребованной.

Пример 3. Матрицей можно представлять информацию о нормах материальных затрат для планирования снабжения предприятия. Пусть следующая матрица В определяет нормы затрат трех видов сырья на производство трех типов некоторой продукции:

Тогда, например, элементы а₁₁ = 2, а₁₂ = 0, а₁₃ = 5 означают нормы расхода 1-го вида сырья на производство 1-го, 2-го и 3-го типов продукции, при этом а₁₂ = 0 означает, что 1-й вид сырья не используется в производстве 2-го типа продукции.

Другие приложения матриц связаны со свойствами основных операций, которые можно осуществлять над матрицами.

Пусть А = (a_ij), i = 1, ..., m, j = 1, ..., n, матрица размера mn и k –некоторое число.

Определение 1. Произведением матрицы A на число k называется матрица, элементы которой получаются путем умножения всех элементов А на число k :

k∙A = (ka_ij), i = 1, ..., m, j = 1, ..., n.

Матрица (1)·A называется противоположной для А и обозначается

через –А.

Пусть В = (b_ij), i = 1, ..., m, j = 1, ..., n - другая матрица такого же размера mn. Матрицы одинаковых размеров можно складывать и вычитать.

Определение 2. Суммой матриц А и В называется матрица А + В, элементами которой являются суммы соответствующих элементов этих матриц:

А + В = (a_ij + b_ij), i = 1, ..., m, j = 1, ..., n.

Аналогично разностью матриц А и В называется матрица, элементами которой являются разности соответствующих элементов этих матриц:

А – В = (a_ij – b_ij), i = 1, ..., m, j = 1, ..., n.

Вводится особая операция транспонирование.

Определение 3. Транспонированной матрицей для А называется матрица A^T, в которой каждая i-я строка матрицы А становится i-м столбцом и каждый j-й столбец становится j-й строкой:

A^T = (a_ji), i = 1, ..., m, j = 1, ..., n

Пример 5. Выполнить следующие действия над матрицами.

Теперь определяется более сложная операция - произведение двух матриц. Пусть А = (а_ik), i = 1, ..., m, k = 1, ..., l, матрица размера m l и В = (b_kj),

k = 1, ..., l, j = 1, ..., n, матрица размера l  n.

Определение 4. При умножении А на В получается матрица АB = (c_ij),

i = 1, ..., m, j = 1, ..., n, размера m n, элементы которой c_ij вычисляются по формуле:

с_ij = a_i1b_1j + a_i2b_2j + ... + a_ilb_lj , i = 1, ..., m, j = 1, ..., n

Это сумма произведений элементов i-й строки на соответствующие элементы j-го столбца. Обратите внимание на то, что число столбцов первой матрицы А должно быть равно числу строк второй матрицы В, при нарушении этого условия матрицы нельзя умножать.

Пример 6. Выполнить умножение матриц.

Для введенных операций над матрицами выполняются многие свойства, аналогичные свойствам арифметических операций над числами. Например, верны указанные ниже равенства (в скобках указаны названия этих свойств).

С другой стороны, умножение матриц существенно отличается от умножение чисел, следующие примеры показывают, что произведение АВможет отличаться отВА, и что произведение ненулевых матриц может равняться нулевой матрице.